Решить

Краткие ответы:

1. \(x=1\)
2. \(x=1\)
3. \(x=-\dfrac{19}{4}\)
4. \(x=\dfrac{31}{8}\)
5. \(x=0\)
6. \(-6\)
7. \(-5\)
8. \(-\dfrac12\)
9. \(7\)
10. \(8\)
11. \(16\)
12. \(1\)
13. \(\dfrac45=0{,}8\)
14. \(896\)
15. \(64\)
16. \(45\) мин
17. \(754\) МГц
18. \(4489\ \text{км/ч}^2\)

Решение

1. \[ (6x+6)^2=144x \] \[ 36(x+1)^2=144x \] \[ (x+1)^2=4x \] \[ x^2-2x+1=0,\qquad (x-1)^2=0 \] \[ \boxed{x=1} \]

2. \[ (-7x+1)^3=-216 \] \[ -7x+1=-6 \] \[ \boxed{x=1} \]

3. ОДЗ: \(2x+5\ne0\), то есть \(x\ne-\dfrac52\).

\[ \frac{4x+1}{2x+5}=4 \] \[ 4x+1=8x+20 \] \[ -4x=19 \] \[ \boxed{x=-\frac{19}{4}} \]

4. ОДЗ: \(-x+3\ne0\), то есть \(x\ne3\).

\[ \frac7{-x+3}=-8 \] \[ 7=-8(-x+3) \] \[ 7=8x-24 \] \[ \boxed{x=\frac{31}{8}} \]

5. \[ \sqrt{18x+1}=1 \] \[ 18x+1=1 \] \[ \boxed{x=0} \]

6. \[ (49a^2-9)\left(\frac1{7a+3}-\frac1{7a-3}\right) \] \[ 49a^2-9=(7a-3)(7a+3) \] \[ \frac1{7a+3}-\frac1{7a-3} =\frac{-6}{(7a+3)(7a-3)} \] Следовательно, \[ \boxed{-6} \] при \(a\ne\pm\dfrac37\).

7. \[ \frac{s^2+25b^2-(s-5b)^2}{-2sb} \] \[ (s-5b)^2=s^2-10sb+25b^2 \] \[ s^2+25b^2-(s-5b)^2=10sb \] \[ \frac{10sb}{-2sb}=\boxed{-5} \]

8. Переведём смешанные числа и десятичную дробь:

\[ 6\frac37=\frac{45}{7},\qquad 11\frac37=\frac{80}{7},\qquad 0{,}35=\frac7{20}. \]

Тогда \[ \left(\sqrt{\frac{45}{7}}-\sqrt{\frac{80}{7}}\right)\sqrt{\frac7{20}} = \sqrt{\frac94}-\sqrt4 \] \[ =\frac32-2=\boxed{-\frac12} \]

9. \[ 49^{0{,}27}\cdot7^{0{,}46} =(7^2)^{0{,}27}\cdot7^{0{,}46} =7^{0{,}54+0{,}46} =\boxed7 \]

10. \[ \frac{16^4\cdot2^3}{4^8} = \frac{(2^4)^4\cdot2^3}{(2^2)^8} = \frac{2^{16}\cdot2^3}{2^{16}} =\boxed8 \]

11. \[ 4^{\frac{81}{44}}\cdot2^{\frac7{22}} =(2^2)^{\frac{81}{44}}\cdot2^{\frac7{22}} \] \[ =2^{\frac{81}{22}}\cdot2^{\frac7{22}} =2^{\frac{88}{22}} =2^4=\boxed{16} \]

12. \[ \frac{8^{\frac23}\cdot9^{\frac23}}{72^{\frac23}} = \frac{(8\cdot9)^{\frac23}}{72^{\frac23}} = \frac{72^{\frac23}}{72^{\frac23}} =\boxed1 \]

13. Знак «:» означает деление:

\[ 20^{-4{,}5}\cdot5^{3{,}5}:4^{-5{,}5} = 20^{-4{,}5}\cdot5^{3{,}5}\cdot4^{5{,}5}. \]

Так как \(20=4\cdot5\), получаем: \[ (4\cdot5)^{-4{,}5}\cdot5^{3{,}5}\cdot4^{5{,}5} \] \[ =4^{1}\cdot5^{-1} =\boxed{\frac45=0{,}8} \]

14. \[ \frac{\left(7^{\frac9{14}}\cdot2^{\frac34}\right)^{56}}{14^{35}} \] \[ =\frac{7^{36}\cdot2^{42}}{(2\cdot7)^{35}} = \frac{7^{36}\cdot2^{42}}{7^{35}\cdot2^{35}} \] \[ =7\cdot2^7=7\cdot128=\boxed{896} \]

15. \[ (4^9)^7:(16^5)^6 =\frac{4^{63}}{16^{30}} =\frac{(2^2)^{63}}{(2^4)^{30}} \] \[ =\frac{2^{126}}{2^{120}}=2^6=\boxed{64} \]

16. Вода вытечет, когда \(H(t)=0\):

\[ \frac1{90}t^2-t+22{,}5=0. \]

Умножим на \(90\):

\[ t^2-90t+2025=0 \] \[ (t-45)^2=0 \] \[ \boxed{t=45\text{ мин}} \]

Проверка: \(H(45)=0\), значит уровень воды стал равен нулю.

17. Используем формулу с фото:

\[ v=c\cdot\frac{f-f_0}{f+f_0}. \]

Выразим \(f\):

\[ f=f_0\cdot\frac{c+v}{c-v}. \]

Подставим значения:

\[ f=746\cdot\frac{1500+8}{1500-8} =746\cdot\frac{1508}{1492} \] \[ =746\cdot\frac{377}{373} =\boxed{754\text{ МГц}} \]

Проверка: \[ 1500\cdot\frac{754-746}{754+746} =1500\cdot\frac8{1500}=8\text{ м/с}. \]

18. Переведём расстояние в километры:

\[ 500\text{ м}=0{,}5\text{ км}. \]

Из формулы \[ v=\sqrt{2la} \] получаем \[ a=\frac{v^2}{2l}. \]

\[ a=\frac{67^2}{2\cdot0{,}5} =\frac{4489}{1} =\boxed{4489\ \text{км/ч}^2}. \]