3 задание

Краткий ответ

\[ \boxed{a=3,\quad b=2} \]

\[ f(x)=\frac{3x+2}{x+2}=3-\frac{4}{x+2}. \]

Точки пересечения с осями:

\[ \boxed{\left(-\frac23;0\right)},\qquad \boxed{(0;1)}. \]

Асимптоты графика:

\[ \boxed{x=-2,\qquad y=3}. \]

График — гипербола с центром \((-2;3)\).

Решение

1. Находим \(a\) и \(b\)

Вертикальная асимптота получается из условия, что знаменатель равен нулю:

\[ x+b=0 \quad\Rightarrow\quad x=-b. \]

По условию \(x=-2\), значит:

\[ -b=-2 \Rightarrow \boxed{b=2}. \]

Горизонтальная асимптота дробно-линейной функции равна отношению коэффициентов при \(x\):

\[ y=a. \]

Так как по условию \(y=3\), то:

\[ \boxed{a=3}. \]

2. Приводим функцию к нужному виду

\[ f(x)=\frac{3x+2}{x+2}. \]

Выделим выражение \(3(x+2)\):

\[ 3x+2=3x+6-4=3(x+2)-4. \]

Тогда

\[ f(x)=\frac{3(x+2)-4}{x+2} =3-\frac{4}{x+2}. \]

Сравнивая с видом

\[ y=n+\frac{k}{x+m}, \]

получаем:

\[ \boxed{n=3,\quad k=-4,\quad m=2}. \]

3. Точки пересечения с осями

С осью \(Ox\): \(y=0\)

\[ \frac{3x+2}{x+2}=0. \]

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

\[ 3x+2=0 \Rightarrow x=-\frac23. \]

Точка:

\[ \boxed{\left(-\frac23;0\right)}. \]

С осью \(Oy\): \(x=0\)

\[ y=\frac{3\cdot0+2}{0+2}=1. \]

Точка:

\[ \boxed{(0;1)}. \]

4. Построение графика

1. Провести пунктирные асимптоты: \[ x=-2,\qquad y=3. \]
2. Их пересечение \((-2;3)\) — центр гиперболы.
3. Так как \[ y-3=-\frac{4}{x+2}, \] ветви расположены:
   • слева от \(x=-2\) и выше \(y=3\);
   • справа от \(x=-2\) и ниже \(y=3\).
4. Нанести точки \(\left(-\frac23;0\right)\), \((0;1)\), например также \((-3;7)\) и \((-1;-1)\), затем плавно провести ветви.

Проверка: при \(x=-2\) знаменатель равен нулю, поэтому \(x=-2\) — вертикальная асимптота; при больших по модулю \(x\) дробь \(-4/(x+2)\) стремится к нулю, поэтому \(y=3\) — горизонтальная асимптота.