Полноценный конспект: равномерное движение по окружности

1. Движение по окружности

Движение по окружности — движение тела, траекторией которого является окружность радиуса \(R\).

Примеры:

• движение конца стрелки часов;
• вращение колеса;
• движение спутника по орбите;
• движение точек вращающегося диска.

Если тело за равные промежутки времени проходит равные дуги, движение называется равномерным движением по окружности.

---

2. Скорость при движении по окружности

При равномерном движении по окружности модуль скорости постоянен, но направление скорости всё время изменяется.

Мгновенная скорость направлена по касательной к окружности в каждой точке траектории.

Формула скорости:

\[ v=\frac{s}{t}, \]

где:

• \(v\) — скорость;
• \(s\) — пройденный путь;
• \(t\) — время движения.

За один полный оборот тело проходит длину окружности:

\[ s=2\pi R. \]

Поэтому скорость можно вычислить так:

\[ v=\frac{2\pi R}{T}, \]

где \(T\) — период обращения.

Также:

\[ v=2\pi R\nu. \]

---

3. Период обращения

Период обращения \(T\) — время, за которое тело совершает один полный оборот.

Единица измерения периода:

\[ [T]=\text{с}. \]

Если за время \(t\) тело совершило \(N\) оборотов, то:

\[ T=\frac{t}{N}. \]

---

4. Частота обращения

Частота обращения \(\nu\) — число полных оборотов, совершаемых телом за единицу времени.

Формула:

\[ \nu=\frac{N}{t}. \]

Единица измерения частоты:

\[ [\nu]=\text{Гц}=\text{с}^{-1}. \]

Связь периода и частоты:

\[ \nu=\frac{1}{T}, \qquad T=\frac{1}{\nu}. \]

Чем больше частота, тем меньше период.

---

5. Угловая скорость

При движении по окружности тело поворачивается на некоторый угол.

Угловая скорость \(\omega\) показывает, на какой угол поворачивается радиус, проведённый к телу, за единицу времени.

Формула:

\[ \omega=\frac{\varphi}{t}, \]

где \(\varphi\) — угол поворота в радианах.

За один полный оборот тело поворачивается на угол:

\[ \varphi=2\pi \text{ рад}. \]

Поэтому:

\[ \omega=\frac{2\pi}{T}. \]

С учётом частоты:

\[ \omega=2\pi\nu. \]

Единица измерения угловой скорости:

\[ [\omega]=\text{рад/с}. \]

Связь линейной и угловой скоростей:

\[ v=\omega R. \]

---

6. Ускорение при движении по окружности

Даже если модуль скорости постоянен, тело движется с ускорением, потому что изменяется направление скорости.

Это ускорение называется центростремительным.

Центростремительное ускорение направлено:

\[ \text{к центру окружности}. \]

Оно перпендикулярно скорости тела.

Формула:

\[ a_{\text{ц}}=\frac{v^2}{R}. \]

Также можно использовать формулы:

\[ a_{\text{ц}}=\omega^2R, \]

\[ a_{\text{ц}}=\frac{4\pi^2R}{T^2}, \]

\[ a_{\text{ц}}=4\pi^2R\nu^2. \]

Единица измерения ускорения:

\[ [a_{\text{ц}}]=\text{м/с}^2. \]

---

7. Центростремительная сила

Чтобы тело двигалось по окружности, на него должна действовать сила, направленная к центру окружности. Она называется центростремительной силой.

По второму закону Ньютона:

\[ F_{\text{ц}}=ma_{\text{ц}}. \]

С учётом формулы ускорения:

\[ F_{\text{ц}}=\frac{mv^2}{R}. \]

Также:

\[ F_{\text{ц}}=m\omega^2R. \]

Центростремительная сила может иметь разную природу:

• сила натяжения нити;
• сила трения;
• сила тяжести;
• сила реакции опоры.

---

8. Число оборотов

Если тело движется с частотой \(\nu\) в течение времени \(t\), число оборотов определяется формулой:

\[ N=\nu t. \]

Так как \(\nu=\frac{1}{T}\), то:

\[ N=\frac{t}{T}. \]

Путь, пройденный за \(N\) оборотов:

\[ s=2\pi RN. \]

---

9. Основные формулы

\[ T=\frac{t}{N} \]

\[ \nu=\frac{N}{t} \]

\[ T=\frac{1}{\nu} \]

\[ \nu=\frac{1}{T} \]

\[ v=\frac{2\pi R}{T} \]

\[ v=2\pi R\nu \]

\[ v=\omega R \]

\[ \omega=\frac{2\pi}{T} \]

\[ \omega=2\pi\nu \]

\[ a_{\text{ц}}=\frac{v^2}{R} \]

\[ a_{\text{ц}}=\omega^2R \]

\[ F_{\text{ц}}=\frac{mv^2}{R} \]

---

10. Как решать задачи

1. Записать известные величины в СИ.
2. Определить, что требуется найти.
3. Выбрать подходящую формулу.
4. Если нужно, выразить неизвестную величину.
5. Подставить числа.
6. Записать ответ с единицей измерения.

Пример

Тело движется по окружности радиусом \(2\) м и совершает один оборот за \(4\) с. Найдём скорость:

\[ v=\frac{2\pi R}{T}. \]

Подставим значения:

\[ v=\frac{2\pi\cdot2}{4}=\pi\ \text{м/с}. \]

Ответ:

\[ \boxed{v\approx3{,}14\ \text{м/с}}. \]

---

Главное

• При движении по окружности скорость направлена по касательной.
• Модуль скорости может быть постоянным, но её направление изменяется.
• Поэтому тело движется с ускорением.
• Центростремительное ускорение направлено к центру окружности.
• Период — время одного оборота.
• Частота — число оборотов за единицу времени.
• Линейная скорость связана с угловой формулой:

\[ v=\omega R. \]

На фото несколько задач. Решить все или какую-то конкретную?

Пришли фото с задачами ещё раз: в текущем чате оно не отображается. Можно также переписать все условия.