По аналогии с классной задачей (урок в четверг) составить и решить на отдельном листе А4 три задачи. Оформление - аккуратно, графики - карандашом и по линейке.
Краткий ответ: ниже приведён готовый пример трёх задач по теме движения, составленных по аналогии с классной работой.
Итоги:
- \(a_1=2\ \text{м/с}^2,\ a_2=0,\ a_3=-2{,}5\ \text{м/с}^2,\ S=104\ \text{м}\).
- \(x_0=12\ \text{м},\ v_0=4\ \text{м/с},\ a=2\ \text{м/с}^2,\ x(5)=57\ \text{м},\ v(5)=14\ \text{м/с}\).
- Тела встретятся через \(2\ \text{с}\) в точке \(x=18\ \text{м}\).
1. Задача на график скорости
Задача. Скорость тела изменялась следующим образом:
- от \(0\) до \(4\) с увеличилась от \(2\) до \(10\ \text{м/с}\);
- от \(4\) до \(10\) с оставалась равной \(10\ \text{м/с}\);
- от \(10\) до \(14\) с уменьшилась до \(0\ \text{м/с}\).
Построить график \(v(t)\), найти ускорение на каждом участке и путь за всё время движения.
Решение
Для графика отметь точки:
\[ (0;2),\quad (4;10),\quad (10;10),\quad (14;0). \]
Соедини их по порядку отрезками.
Ускорение находим по формуле:
\[ a=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}. \]
Первый участок:
\[ a_1=\frac{10-2}{4}=2\ \text{м/с}^2. \]
Второй участок:
\[ a_2=\frac{10-10}{10-4}=0. \]
Третий участок:
\[ a_3=\frac{0-10}{14-10}=-2{,}5\ \text{м/с}^2. \]
Путь равен площади под графиком скорости:
\[ S_1=\frac{2+10}{2}\cdot4=24\ \text{м}, \]
\[ S_2=10\cdot(10-4)=60\ \text{м}, \]
\[ S_3=\frac{10+0}{2}\cdot(14-10)=20\ \text{м}. \]
\[ S=S_1+S_2+S_3=24+60+20=104\ \text{м}. \]
Ответ:
\[ \boxed{a_1=2\ \text{м/с}^2,\quad a_2=0,\quad a_3=-2{,}5\ \text{м/с}^2} \]
\[ \boxed{S=104\ \text{м}} \]
2. Задача на уравнение координаты
Задача. Движение тела задано уравнением:
\[ x(t)=12+4t+t^2, \]
где \(x\) измеряется в метрах, а \(t\) — в секундах. Найти начальную координату, начальную скорость, ускорение, координату и скорость тела через \(5\) с. Построить график \(v(t)\).
Решение
Используем формулу равноускоренного движения:
\[ x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}. \]
Сравним её с данным уравнением:
\[ x(t)=12+4t+t^2. \]
Отсюда:
\[ x_0=12\ \text{м}, \]
\[ v_0=4\ \text{м/с}, \]
\[ \frac{a}{2}=1,\qquad a=2\ \text{м/с}^2. \]
Скорость тела:
\[ v(t)=v_0+at. \]
Через \(5\) с:
\[ x(5)=12+4\cdot5+5^2 =12+20+25=57\ \text{м}. \]
\[ v(5)=4+2\cdot5=14\ \text{м/с}. \]
Для графика скорости отметь точки:
\[ (0;4),\quad (5;14). \]
Так как скорость изменяется равномерно, точки нужно соединить прямым отрезком.
Ответ:
\[ \boxed{x_0=12\ \text{м},\quad v_0=4\ \text{м/с},\quad a=2\ \text{м/с}^2} \]
\[ \boxed{x(5)=57\ \text{м},\quad v(5)=14\ \text{м/с}} \]
3. Задача на встречу двух тел
Задача. Координаты двух тел заданы формулами:
\[ x_1(t)=8+3t+t^2, \]
\[ x_2(t)=26-4t. \]
Все величины выражены в СИ. Найти время и координату встречи тел. Построить графики \(x_1(t)\) и \(x_2(t)\).
Решение
В момент встречи координаты тел одинаковы:
\[ x_1(t)=x_2(t). \]
Подставим формулы:
\[ 8+3t+t^2=26-4t. \]
Перенесём всё в левую часть:
\[ t^2+7t-18=0. \]
Найдём дискриминант:
\[ D=7^2-4\cdot1\cdot(-18)=49+72=121. \]
\[ t_{1,2}=\frac{-7\pm\sqrt{121}}{2}. \]
\[ t_1=\frac{-7+11}{2}=2\ \text{с}, \]
\[ t_2=\frac{-7-11}{2}=-9\ \text{с}. \]
Отрицательное время не подходит, поэтому:
\[ t=2\ \text{с}. \]
Найдём координату встречи:
\[ x_1(2)=8+3\cdot2+2^2=8+6+4=18\ \text{м}. \]
Проверим по второй формуле:
\[ x_2(2)=26-4\cdot2=18\ \text{м}. \]
Получилось одинаковое значение, значит решение верное.
Для графика можно взять таблицу:
| \(t\), с | \(x_1(t)\), м | \(x_2(t)\), м |
|---|---|---|
| 0 | 8 | 26 |
| 1 | 12 | 22 |
| 2 | 18 | 18 |
| 3 | 26 | 14 |
| 4 | 36 | 10 |
График \(x_2(t)\) — прямая, а \(x_1(t)\) — парабола. Точка пересечения графиков:
\[ (2;\,18). \]
Ответ:
\[ \boxed{t_{\text{встречи}}=2\ \text{с},\quad x_{\text{встречи}}=18\ \text{м}} \]
Как оформить на листе А4
Для каждой задачи используй порядок:
- Условие.
- Дано.
- Найти.
- Решение.
- Ответ.
Оси координат и прямые участки графиков проведи по линейке, кривую для \(x_1(t)\) проведи плавно через отмеченные точки. Все единицы измерения обязательно подпиши.
