Реши задание на изображении
Перевод и решение уравнений
Мне нужно ответить на русском языке и выполнить задание по изображению. Оно включает упражнения 1711, 1712 и 1713. Вероятно, пользователь хочет, чтобы были решены все уравнения, поэтому я внимательно рассмотрю каждое из них. Я приведу краткое вступление, а затем чётко изложу этапы решения. Всего нужно решить шесть частей. Я выведу точные решения, проверяя область допустимых значений и посторонние значения, а также рассмотрю \( t = x^2 + x + 1 \) для всех необходимых уравнений. Приступим внимательно.
Решение уравнений с дробями
Мне нужно проверить знаменатели, чтобы убедиться в отсутствии проблем. Сосредоточимся на упражнении 1711(b), где можно сделать замену \( y = x^2 - x \). Я определю знаменатели \( y + 1 \) и \( y - 2 \), после чего запишу уравнение в виде \( \frac{y}{y+1} - \frac{y+2}{y-2} = 1 \). Область допустимых значений: \( y \neq -1, 2 \). Далее я приведу дроби к общему знаменателю и упрощу числитель: \( y^2 - 2y - (y^2 + 3y + 2) = -5y - 2 \).
Объяснение рациональных уравнений
Я хочу избежать случайных несоответствий в числах при работе с уравнением 1711a: правая часть \( 3 - x - x^2 = 4 - (x^2 + x + 1) \). Важно следовать общему принципу: для рациональных уравнений сначала определить ограничения и только затем умножать на ненулевые знаменатели. При наличии корней нужно учитывать область определения и возводить правую часть в квадрат только в том случае, если она неотрицательна, для уравнений вида \( \sqrt{A} = B \). Если \( \sqrt{A} = \sqrt{B} \), следует сравнить подкоренные выражения, проверив области допустимых значений. Итак, приступим!
Краткий ответ
\[ \begin{aligned} 1711\text{ а)}&\quad x\in\{-2,-1,0,1\};\\ 1711\text{ б)}&\quad x\in\{0,1\};\\ 1712\text{ а)}&\quad x=1;\\ 1712\text{ б)}&\quad x=\frac52;\\ 1713\text{ а)}&\quad x=5,\ \frac{15}{2};\\ 1713\text{ б)}&\quad x=2,\ 4. \end{aligned} \]
1711
а)
Пусть
\[ t=x^2+x+1. \]
Тогда \(t>0\), а
\[ 3-x-x^2=4-t. \]
Получаем:
\[ \frac3t=4-t. \]
Умножим на \(t\neq0\):
\[ 3=4t-t^2, \]
\[ t^2-4t+3=0, \]
\[ (t-1)(t-3)=0. \]
- \(t=1\):
\[ x^2+x+1=1 \Rightarrow x(x+1)=0, \]
\[ x=0\quad\text{или}\quad x=-1. \]
- \(t=3\):
\[ x^2+x+1=3 \Rightarrow x^2+x-2=0, \]
\[ (x-1)(x+2)=0, \]
\[ x=1\quad\text{или}\quad x=-2. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=-2,-1,0,1}. \]
б)
Пусть
\[ y=x^2-x. \]
ОДЗ:
\[ y+1\neq0,\qquad y-2\neq0. \]
Уравнение принимает вид:
\[ \frac{y}{y+1}-\frac{y+2}{y-2}=1. \]
Приведём левую часть к общему знаменателю:
\[ \frac{y(y-2)-(y+2)(y+1)}{(y+1)(y-2)}=1. \]
\[ \frac{-5y-2}{(y+1)(y-2)}=1. \]
Тогда
\[ -5y-2=(y+1)(y-2)=y^2-y-2, \]
\[ y^2+4y=0, \]
\[ y(y+4)=0. \]
- \(y=0\):
\[ x^2-x=0 \Rightarrow x(x-1)=0, \]
\[ x=0\quad\text{или}\quad x=1. \]
- \(y=-4\):
\[ x^2-x=-4 \Rightarrow x^2-x+4=0. \]
Дискриминант:
\[ D=1-16=-15<0, \]
действительных корней нет.
Ответ:
\[ \boxed{x=0,1}. \]
1712
При равенстве квадратных корней их подкоренные выражения равны, но найденные корни нужно проверить по ОДЗ.
а)
\[ \sqrt{6x^2-3}=\sqrt{5x-2}. \]
Приравняем подкоренные выражения:
\[ 6x^2-3=5x-2, \]
\[ 6x^2-5x-1=0. \]
\[ D=25+24=49, \]
\[ x=\frac{5\pm7}{12}. \]
Получаем:
\[ x=1,\qquad x=-\frac16. \]
Проверка:
- при \(x=1\): оба подкоренных выражения равны \(3\);
- при \(x=-\frac16\):
\[ 6x^2-3=5x-2=-\frac{17}{6}<0, \]
корни не существуют.
Ответ:
\[ \boxed{x=1}. \]
б)
\[ \sqrt{3x^2-5x}=\sqrt{x^2+2x-5}. \]
\[ 3x^2-5x=x^2+2x-5, \]
\[ 2x^2-7x+5=0, \]
\[ (2x-5)(x-1)=0. \]
\[ x=\frac52\quad\text{или}\quad x=1. \]
Проверка:
- при \(x=1\) подкоренные выражения равны \(-2\), поэтому этот корень не подходит;
- при \(x=\frac52\):
\[ 3x^2-5x=x^2+2x-5=\frac{25}{4}\ge0. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=\frac52}. \]
1713
Здесь сначала нужно учесть, что правая часть должна быть неотрицательной:
\[ 2x-9\ge0 \]
или
\[ 2x-4\ge0. \]
а)
\[ \sqrt{2x^2-11x+6}=2x-9. \]
Отсюда
\[ x\ge\frac92. \]
Возведём обе части в квадрат:
\[ 2x^2-11x+6=(2x-9)^2, \]
\[ 2x^2-11x+6=4x^2-36x+81, \]
\[ 2x^2-25x+75=0. \]
Разложим на множители:
\[ (2x-15)(x-5)=0. \]
\[ x=\frac{15}{2}\quad\text{или}\quad x=5. \]
Оба числа удовлетворяют условию \(x\ge\frac92\).
Ответ:
\[ \boxed{x=5,\frac{15}{2}}. \]
б)
\[ \sqrt{x^2+2x-8}=2x-4. \]
Правая часть неотрицательна:
\[ x\ge2. \]
Возводим в квадрат:
\[ x^2+2x-8=(2x-4)^2, \]
\[ x^2+2x-8=4x^2-16x+16, \]
\[ 3x^2-18x+24=0, \]
\[ 3(x-2)(x-4)=0. \]
\[ x=2\quad\text{или}\quad x=4. \]
Оба корня подходят:
\[ x=2:\quad \sqrt0=0; \]
\[ x=4:\quad \sqrt{16}=4. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=2,4}. \]
