1 вариант

Краткий ответ для 1 варианта:

1. Простые числа: 19 и 31.
2. \(72=2^3\cdot3^2\).
3. \(\mathrm{НОД}(48;60)=12\).
4. \(\mathrm{НОК}(15;20)=60\).

Решение

1. Простые числа

Простое число имеет только два делителя: \(1\) и само число.

• \(19\) — простое;
• \(27=3\cdot9\) — составное;
• \(31\) — простое;
• \(45=5\cdot9\) — составное.

Значит, простые числа: 19 и 31.

2. Разложение числа \(72\) на простые множители

\[ 72=2\cdot36=2\cdot2\cdot18=2\cdot2\cdot2\cdot9 \]

\[ \boxed{72=2^3\cdot3^2} \]

3. НОД чисел \(48\) и \(60\)

\[ 48=2^4\cdot3,\qquad 60=2^2\cdot3\cdot5 \]

Для НОД берём общие простые множители в наименьших степенях:

\[ \mathrm{НОД}(48;60)=2^2\cdot3=12. \]

Проверка: \(48:12=4\), \(60:12=5\).

4. НОК чисел \(15\) и \(20\)

\[ 15=3\cdot5,\qquad 20=2^2\cdot5 \]

Для НОК берём все простые множители в наибольших степенях:

\[ \mathrm{НОК}(15;20)=2^2\cdot3\cdot5=60. \]

Проверка: \(60\) делится и на \(15\), и на \(20\).