Номер 142

Краткий ответ:

1. \(\operatorname{НОД}(42,105)=21\);
2. \(\operatorname{НОД}(588,252)=84\);
3. \(\operatorname{НОД}(680,612)=68\).

Решение: разложим числа на простые множители и возьмём общие множители в наименьших степенях.

1. \[ 42=2\cdot3\cdot7,\qquad 105=3\cdot5\cdot7 \] \[ \operatorname{НОД}=3\cdot7=\boxed{21} \]

2. \[ 588=2^2\cdot3\cdot7^2,\qquad 252=2^2\cdot3^2\cdot7 \] \[ \operatorname{НОД}=2^2\cdot3\cdot7=\boxed{84} \]

3. \[ 680=2^3\cdot5\cdot17,\qquad 612=2^2\cdot3^2\cdot17 \] \[ \operatorname{НОД}=2^2\cdot17=\boxed{68} \]

Проверка:
\[ 42:21=2,\quad105:21=5; \] \[ 588:84=7,\quad252:84=3; \] \[ 680:68=10,\quad612:68=9. \] Все делятся без остатка.