Номер 154

Краткий ответ:

\[ \begin{aligned} \text{а)}&\ 1;& \text{б)}&\ 4;& \text{в)}&\ -\frac{6}{19};& \text{г)}&\ 1000;\\ \text{д)}&\ \frac34;& \text{е)}&\ \frac15;& \text{ж)}&\ -\frac1{49};& \text{з)}&\ \frac12. \end{aligned} \]

Используем правила:

\[ a^{-n}=\frac1{a^n},\qquad a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}. \]

а)

\[ (-2)^{-12}:4^{-6} =2^{-12}:(2^2)^{-6} =2^{-12}:2^{-12}=1. \]

б)

\[ (16\cdot2^{-3})^2 =((2^4)\cdot2^{-3})^2 =(2^{4-3})^2 =2^2=4. \]

в)

\[ -3\frac16=-\frac{19}{6}. \]

\[ \left(-\frac{19}{6}\right)^{-5} \left(\frac6{19}\right)^{-4} = \left(-\frac6{19}\right)^5 \left(\frac{19}{6}\right)^4. \]

\[ =-\frac{6^5}{19^5}\cdot\frac{19^4}{6^4} =-\frac6{19}. \]

г)

\[ (-10^{-3})^{-2}:0{,}1^{-3} =10^6:10^3 =10^3=1000. \]

Знак исчезает, потому что отрицательное число возводится в чётную степень.

д)

\[ -1\frac79=-\frac{16}{9},\qquad 0{,}75=\frac34. \]

\[ \left(-\frac{16}{9}\right)^{-8} \cdot\left(\left(\frac34\right)^{-3}\right)^5 = \left(\frac9{16}\right)^8 \cdot\left(\frac34\right)^{-15}. \]

\[ =\frac{3^{16}}{2^{32}}\cdot\frac{2^{30}}{3^{15}} =\frac{3}{2^2} =\frac34. \]

е)

\[ 125^{-3}:\left(\left(-\frac15\right)^{-4}\right)^{-2} \]

\[ =(5^3)^{-3}:(5^4)^{-2} =5^{-9}:5^{-8} =5^{-1} =\frac15. \]

ж)

Так как \(49=7^2\), то \(49^{-4}=7^{-8}\):

\[ \frac{7^{-7}\cdot(-49^{-4})}{7^{-13}} = \frac{-7^{-7}\cdot7^{-8}}{7^{-13}} = \frac{-7^{-15}}{7^{-13}} =-7^{-2} =-\frac1{49}. \]

з)

\[ \frac{(-6)^{-4}}{2^{-3}\cdot3^{-4}} = \frac{(2\cdot3)^{-4}}{2^{-3}\cdot3^{-4}} = \frac{2^{-4}3^{-4}}{2^{-3}3^{-4}} =2^{-1} =\frac12. \]

Проверка знаков: отрицательные результаты получились только в пунктах в) и ж), что соответствует нечётной степени в пункте в) и явному минусу в пункте ж).