на ребрах AD и CD пирамиды SABCD отметили соответственно точки M и K. Постройте линию рересечения плоскостей BSC и MSK

Пусть \(\alpha=(BSC)\), \(\beta=(MSK)\), а основание пирамиды лежит в плоскости \((ABCD)\).

Построение

1. Так как точки \(M\) и \(K\) лежат в плоскости основания, проведём прямую \(MK\).
2. В плоскости основания проведём прямую \(BC\).
3. Продолжим прямые \(MK\) и \(BC\) до пересечения. Обозначим их точку пересечения через \(P\): \[ P=MK\cap BC. \]
4. Проведём прямую через точки \(S\) и \(P\): \[ SP. \]

Обоснование

• \(MK\subset (MSK)\), поэтому \(P\in(MSK)\).
• \(BC\subset(BSC)\), поэтому \(P\in(BSC)\).
• Точка \(S\) принадлежит обеим плоскостям \((BSC)\) и \((MSK)\).

Следовательно, обе плоскости имеют две общие точки \(S\) и \(P\). Поэтому их линия пересечения:

\[ \boxed{(BSC)\cap(MSK)=SP}. \]

Если \(MK\parallel BC\), то через \(S\) нужно провести прямую, параллельную \(MK\) (или \(BC\)). Она и будет линией пересечения плоскостей.

Обозначим плоскость сечения через
\[ \alpha=(EB_1F). \]

Предполагаем, что \(E\) и \(F\) — внутренние точки рёбер.

1. Построение следа плоскости на основании

1. На грани \(ABB_1A_1\) проведите прямую \(EB_1\) и продолжите её до пересечения с прямой \(AB\). Полученную точку обозначьте \(P\): \[ P=(EB_1)\cap(AB). \]

2. На грани \(BCC_1B_1\) проведите прямую \(B_1F\) и продолжите её до пересечения с прямой \(BC\). Полученную точку обозначьте \(Q\): \[ Q=(B_1F)\cap(BC). \]

3. Проведите прямую \(PQ\). Она является линией пересечения плоскости \(\alpha\) с плоскостью основания: \[ PQ=\alpha\cap(ABCD). \]

Действительно, точки \(P\) и \(Q\) принадлежат и плоскости \(\alpha\), и плоскости основания.

2. Если \(PQ\) пересекает рёбра \(AD\) и \(CD\)

Постройте точки \[ H=PQ\cap AD,\qquad G=PQ\cap CD. \]

Тогда искомое сечение — пятиугольник
\[ \boxed{EB_1FGH}. \]

Соедините последовательно: \[ E B_1,\quad B_1F,\quad FG,\quad GH,\quad HE. \]

3. Если \(PQ\) не пересекает основание куба

В этом случае постройте:

1. Точку \[ X=PQ\cap BD. \]

2. В диагональной грани \(BDD_1B_1\) проведите прямую \(B_1X\).

3. Обозначьте \[ T=B_1X\cap DD_1. \]

Тогда искомое сечение — четырёхугольник
\[ \boxed{EB_1FT}. \]

Соедините точки \(E,B_1,F,T\) последовательно.

Если \(PQ\) проходит через вершину \(D\), то \(T=D\), и сечение имеет вид
\[ \boxed{EB_1FD}. \]

Таким образом, в зависимости от положения \(E\) и \(F\) сечение является пятиугольником или четырёхугольником.

Пусть \(\alpha=(EB_1F)\).

1. На гранях \(ABB_1A_1\) и \(BCC_1B_1\) проведите прямые \(EB_1\) и \(B_1F\).
2. Продолжите их до пересечения с прямыми \(AB\) и \(BC\): \[ P=EB_1\cap AB,\qquad Q=B_1F\cap BC. \]
3. Проведите прямую \(PQ\). Это след плоскости \(\alpha\) на плоскости основания.

Если \(PQ\) пересекает рёбра \(AD\) и \(CD\), то \[ H=PQ\cap AD,\qquad G=PQ\cap CD, \] и сечение — пятиугольник \[ \boxed{EB_1FGH}. \]

Если \(PQ\) не пересекает основание куба, то: \[ X=PQ\cap BD,\qquad T=B_1X\cap DD_1. \] Тогда сечение — четырёхугольник \[ \boxed{EB_1FT}. \]

Точки пересечения прямых при необходимости находятся на их продолжениях.

Прямая \(BD\) нужна только во втором случае — когда \(PQ\) не пересекает квадрат основания \(ABCD\).

Тогда нельзя сразу получить точки сечения на рёбрах \(AD\) и \(CD\). Поэтому:

\[ X=PQ\cap BD \]

(пересечение может быть на продолжении \(BD\)).

Точка \(X\) принадлежит плоскости сечения \(\alpha=(EB_1F)\) и диагональной грани \(BDD_1B_1\). Точка \(B_1\) также принадлежит этой грани и плоскости \(\alpha\). Значит, прямая

\[ B_1X \]

— линия пересечения плоскости \(\alpha\) с диагональной гранью \(BDD_1B_1\).

Затем:

\[ T=B_1X\cap DD_1. \]

Точка \(T\) — четвёртая вершина сечения, поэтому сечение:

\[ \boxed{EB_1FT}. \]

Если же \(PQ\) пересекает \(AD\) и \(CD\), прямая \(BD\) не нужна.

Нет, нельзя. Прямая \(PQ\) лежит в плоскости основания \((ABCD)\), а прямая \(DD_1\) пересекает эту плоскость только в точке \(D\). Поэтому

\[ PQ\cap DD_1= \begin{cases} D,& D\in PQ,\\ \varnothing,& D\notin PQ. \end{cases} \]

Если \(D\notin PQ\), точку \(T\) строят так:

\[ X=PQ\cap BD, \] \[ B_1X\cap DD_1=T. \]

Именно прямая \(B_1X\) лежит в плоскости сечения и диагональной грани \(BDD_1B_1\), поэтому она пересекает \(DD_1\) в нужной точке \(T\).