Реши

Краткий ответ

1. а) Делятся на \(2\): 422, 2070.
   б) Делятся на \(9\): 171, 2070, 8127.

2. а) Простые: 5, 23, 31.
   б) Составные: 21, 16, 27, 81.

3. 1.

4. а) \(46=2\cdot23\);
   б) \(85=5\cdot17\);
   в) \(540=2^2\cdot3^3\cdot5\).

5. Делители \(99\): 1, 3, 9, 11, 33, 99.

6. \[ \text{НОД}(84;90)=6, \] \[ \text{НОД}(144;56)=8, \] \[ \text{НОД}(11;33)=11, \] \[ \text{НОД}(12;25)=1. \]

7. \[ \text{НОК}(36;48)=144, \] \[ \text{НОК}(7;5)=35, \] \[ \text{НОК}(22;110)=110, \] \[ \text{НОК}(30;31)=930. \]

Объяснение решения

1. Признаки делимости

• Число делится на \(2\), если последняя цифра чётная: \(0,2,4,6,8\).
  Поэтому: 422, 2070.

• Число делится на \(9\), если сумма его цифр делится на \(9\): \[ 1+7+1=9,\quad 2+0+7+0=9,\quad 8+1+2+7=18. \] Значит, подходят 171, 2070, 8127.

2. Простые и составные числа

Простое число имеет ровно два делителя: \(1\) и само число.
Составное число имеет больше двух делителей.

\[ 5,\ 23,\ 31 \] — простые числа.

\[ 21=3\cdot7,\quad 16=2\cdot8,\quad 27=3\cdot9,\quad 81=9\cdot9 \] — составные числа.

3. Число, не являющееся ни простым, ни составным

Число \(1\) имеет только один делитель — само себя, поэтому оно ни простое, ни составное.

4. Разложение на простые множители

\[ 46=2\cdot23; \]

\[ 85=5\cdot17; \]

\[ 540=54\cdot10=(2\cdot3^3)\cdot(2\cdot5) =2^2\cdot3^3\cdot5. \]

5. Делители числа \(99\)

\[ 99=3^2\cdot11. \]

Составляем все пары множителей:

\[ 1\cdot99,\quad 3\cdot33,\quad 9\cdot11. \]

Делители: 1, 3, 9, 11, 33, 99.

6. НОД

Для нахождения НОД берём общие простые множители в наименьших степенях:

\[ 84=2^2\cdot3\cdot7,\qquad 90=2\cdot3^2\cdot5. \]

Общие множители: \(2\) и \(3\), значит:

\[ \text{НОД}(84;90)=2\cdot3=6. \]

Аналогично:

\[ 144=2^4\cdot3^2,\qquad56=2^3\cdot7, \] \[ \text{НОД}(144;56)=2^3=8. \]

\[ 33=3\cdot11\Rightarrow \text{НОД}(11;33)=11. \]

У чисел \(12\) и \(25\) нет общих простых множителей:

\[ \text{НОД}(12;25)=1. \]

7. НОК

Для нахождения НОК берём все простые множители в наибольших степенях:

\[ 36=2^2\cdot3^2,\qquad48=2^4\cdot3, \] \[ \text{НОК}(36;48)=2^4\cdot3^2=144. \]

Числа \(7\) и \(5\) взаимно простые:

\[ \text{НОК}(7;5)=7\cdot5=35. \]

Так как \(22\) делит \(110\):

\[ \text{НОК}(22;110)=110. \]

Числа \(30\) и \(31\) взаимно простые:

\[ \text{НОК}(30;31)=30\cdot31=930. \]

Проверка: \(144\) делится и на \(36\), и на \(48\); \(930\) делится на \(30\) и на \(31\).