Реши 482
Краткий ответ: \(A_1B_1C_1D_1\) — параллелограмм, потому что его диагонали \(A_1C_1\) и \(B_1D_1\) делятся пополам в точке \(O\).
Доказательство:
Диагонали параллелограмма \(ABCD\) точкой пересечения делятся пополам, поэтому \[ OA=OC,\qquad OB=OD. \]
Так как \(A_1\) и \(C_1\) — середины отрезков \(OA\) и \(OC\), то \[ OA_1=\frac{OA}{2},\qquad OC_1=\frac{OC}{2}. \] Следовательно, \[ OA_1=OC_1. \] Точки \(A_1,O,C_1\) лежат на одной прямой, значит, \(O\) — середина диагонали \(A_1C_1\).
Аналогично: \[ OB_1=\frac{OB}{2},\qquad OD_1=\frac{OD}{2}, \] поэтому \(O\) — середина диагонали \(B_1D_1\).
Диагонали \(A_1C_1\) и \(B_1D_1\) четырёхугольника \(A_1B_1C_1D_1\) делятся пополам. По признаку параллелограмма этот четырёхугольник является параллелограммом.
