Реши под номером 42 (и нарисуй к нему ресунок)

Краткий ответ:
а) \(\angle MKP=108^\circ,\quad \angle NPK=72^\circ\);
б) угол между биссектрисой угла \(K\) и прямой \(NP\) равен \(54^\circ\).

Рисунок (схематично, \(\ell\) — биссектриса угла \(K\)):

                 M──────────────N
                  \      /       \
                   \    /  ℓ      \
                    \  /           \
                     K─────────────P

Решение

Проведём диагональ \(MP\). Рассмотрим треугольники \(MNP\) и \(PKM\):

\[ MN=PK,\qquad NP=MK,\qquad MP=MP. \]

Следовательно,

\[ \triangle MNP=\triangle PKM \]

по трём сторонам. Значит,

\[ MN\parallel PK,\qquad NP\parallel MK. \]

Таким образом, \(MNPK\) — параллелограмм.

Дано:

\[ \angle M=72^\circ. \]

Соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180^\circ\), поэтому

\[ \angle K=180^\circ-72^\circ=108^\circ. \]

Противоположные углы равны, значит

\[ \angle P=\angle M=72^\circ. \]

Отсюда:

\[ \boxed{\angle MKP=108^\circ},\qquad \boxed{\angle NPK=72^\circ}. \]

Биссектриса угла \(K\) делит его пополам:

\[ \frac{108^\circ}{2}=54^\circ. \]

Так как \(NP\parallel MK\), угол между биссектрисой и прямой \(NP\) также равен

\[ \boxed{54^\circ}. \]

Проверка:

\[ 72^\circ+108^\circ+72^\circ+108^\circ=360^\circ. \]