1.148

Краткий ответ:

а) \(\dfrac{1}{25}\);
б) \(1\);
в) \(\dfrac14\);
г) \(\dfrac{1}{100}\);
д) \(625\);
е) \(\dfrac13\);
ж) \(125\);
з) \(81\);
и) \(0,001\);
к) \(\dfrac17\);
л) \(\dfrac{1}{10}\);
м) \(25\).

Основные правила

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}, \] \[ a^{-n}=\frac1{a^n},\qquad a^0=1. \]

Решение

а)

\[ 5^{-7}\cdot5^5=5^{-7+5}=5^{-2}=\frac1{25}. \]

б) \(2\frac25=2,4\), поэтому

\[ (2,4)^{-6}\cdot(2,4)^6=(2,4)^0=1. \]

в) Представим \(4\) как \(2^2\):

\[ 4\cdot2^{-4}=2^2\cdot2^{-4}=2^{-2}=\frac14. \]

г)

\[ 10^{-5}:10^{-3}=10^{-5-(-3)}=10^{-2}=\frac1{100}. \]

д) \(5=5^1\):

\[ 5:5^{-3}=5^{1-(-3)}=5^4=625. \]

е) Деление выполняем слева направо:

\[ 3^7:3^9:3^{-1} =3^{7-9-(-1)} =3^{-1} =\frac13. \]

ж)

\[ (5^{-3})^{-1}=5^{(-3)\cdot(-1)}=5^3=125. \]

з)

\[ \left(\left(\frac13\right)^{-1}\right)^4 =\left(\frac13\right)^{-4} =3^4=81. \]

и)

\[ \left((0,1)^{-3}\right)^{-1} =(0,1)^{(-3)(-1)} =(0,1)^3=0,001. \]

к)

\[ (7^{-2})^{-3}:7^7 =7^6:7^7 =7^{-1} =\frac17. \]

л) \(100=10^2\):

\[ 100^{-8}:10^{-15} =(10^2)^{-8}:10^{-15} =10^{-16-(-15)} =10^{-1} =\frac1{10}. \]

м)

\[ 5^{-4}:(5^{-2})^3 =5^{-4}:5^{-6} =5^{-4-(-6)} =5^2=25. \]

Проверка, например, для пункта б: множители имеют одинаковое основание и противоположные показатели, поэтому их произведение равно \(a^0=1\).