Реши номер 371 по геометрии
Краткий ответ: в обоих случаях \(ABCD\) — параллелограмм.
а) Дано:
\[ \angle BAC=\angle ACD,\qquad \angle BCA=\angle DAC. \]
Диагональ \(AC\) является секущей:
\(\angle BAC\) и \(\angle ACD\) — накрест лежащие углы для прямых \(AB\) и \(CD\). Они равны, значит, \[ AB\parallel CD. \]
\(\angle BCA\) и \(\angle DAC\) — накрест лежащие углы для прямых \(BC\) и \(AD\). Они равны, значит, \[ BC\parallel AD. \]
Получили, что обе пары противоположных сторон параллельны. Следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.
б) Дано:
\[ AB\parallel CD,\qquad \angle A=\angle C. \]
Так как \(AB\parallel CD\), то внутренние односторонние углы:
\[ \angle A+\angle D=180^\circ, \] \[ \angle B+\angle C=180^\circ. \]
Поскольку \(\angle A=\angle C\), то
\[ \angle B=180^\circ-\angle C =180^\circ-\angle A. \]
Следовательно,
\[ \angle A+\angle B=180^\circ. \]
Углы \(\angle A\) и \(\angle B\) — внутренние односторонние углы при прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\). Их сумма равна \(180^\circ\), значит,
\[ AD\parallel BC. \]
Итак, \(AB\parallel CD\) и \(AD\parallel BC\), поэтому \(ABCD\) — параллелограмм.
Проверка: в каждом пункте доказаны две пары параллельных противоположных сторон — это определение параллелограмма.
Обсуждение
6 сообщенийКратко задачей дано найти и решение
№ 371
а)
Дано:
\[
\angle BAC=\angle ACD,\quad \angle BCA=\angle DAC.
\]
Найти: доказать, что \(ABCD\) — параллелограмм.
Решение:
По равенству накрест лежащих углов:
\[
AB\parallel CD,\qquad BC\parallel AD.
\]
Следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.
б)
Дано:
\[
AB\parallel CD,\quad \angle A=\angle C.
\]
Найти: доказать, что \(ABCD\) — параллелограмм.
Решение:
Так как \(AB\parallel CD\), то
\[
\angle A+\angle D=180^\circ.
\]
Поскольку \(\angle A=\angle C\), получаем:
\[
\angle C+\angle D=180^\circ.
\]
Значит,
\[
AD\parallel BC.
\]
Обе пары противоположных сторон параллельны, поэтому \(ABCD\) — параллелограмм.
Не кратко просто заказать как на уроке решить задачу
Конечно. Оформим решение полностью, как в тетради на уроке.
№ 371
а)
Дано:
\[ \angle BAC=\angle ACD, \]
\[ \angle BCA=\angle DAC. \]
Доказать: \(ABCD\) — параллелограмм.
Доказательство:
Рассмотрим прямые \(AB\) и \(CD\), пересечённые секущей \(AC\).
Углы \(\angle BAC\) и \(\angle ACD\) являются накрест лежащими. По условию они равны:
\[ \angle BAC=\angle ACD. \]
Следовательно, по признаку параллельности прямых:
\[ AB\parallel CD. \]
Теперь рассмотрим прямые \(BC\) и \(AD\), пересечённые секущей \(AC\).
Углы \(\angle BCA\) и \(\angle DAC\) также являются накрест лежащими. По условию:
\[ \angle BCA=\angle DAC. \]
Значит,
\[ BC\parallel AD. \]
Таким образом, в четырёхугольнике \(ABCD\) противоположные стороны попарно параллельны:
\[ AB\parallel CD,\qquad BC\parallel AD. \]
Следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.
Что и требовалось доказать.
б)
Дано:
\[ AB\parallel CD, \]
\[ \angle A=\angle C. \]
То есть:
\[ \angle DAB=\angle BCD. \]
Доказать: \(ABCD\) — параллелограмм.
Доказательство:
Так как
\[ AB\parallel CD, \]
а \(AD\) является секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна \(180^\circ\):
\[ \angle DAB+\angle CDA=180^\circ. \]
По условию:
\[ \angle DAB=\angle BCD. \]
Заменим угол \(\angle DAB\) на равный ему угол \(\angle BCD\):
\[ \angle BCD+\angle CDA=180^\circ. \]
Углы \(\angle BCD\) и \(\angle CDA\) являются внутренними односторонними углами при прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(CD\).
Если сумма внутренних односторонних углов равна \(180^\circ\), то прямые параллельны. Поэтому:
\[ BC\parallel AD. \]
По условию уже известно, что:
\[ AB\parallel CD. \]
Значит, в четырёхугольнике \(ABCD\) обе пары противоположных сторон параллельны:
\[ AB\parallel CD,\qquad BC\parallel AD. \]
Следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.
Что и требовалось доказать.
Доказательство без лишних слов напиши
№ 371
а)
\[ \angle BAC=\angle ACD \Rightarrow AB\parallel CD; \]
\[ \angle BCA=\angle DAC \Rightarrow BC\parallel AD. \]
Следовательно,
\[ AB\parallel CD,\quad BC\parallel AD, \]
значит, \(ABCD\) — параллелограмм.
б)
\[ AB\parallel CD \Rightarrow \angle DAB+\angle CDA=180^\circ. \]
Так как \(\angle DAB=\angle BCD\), то
\[ \angle BCD+\angle CDA=180^\circ. \]
Следовательно,
\[ BC\parallel AD. \]
Таким образом,
\[ AB\parallel CD,\quad BC\parallel AD, \]
значит, \(ABCD\) — параллелограмм.
