964 номер

Краткий ответ

Единственного рисунка нет, потому что векторы \(\vec x\) и \(\vec y\) можно выбрать произвольно. Покажем один правильный вариант.

Чтобы построить \(\lambda\vec a\):

• если \(\lambda>0\), сохраняем направление и изменяем длину в \(\lambda\) раз;
• если \(\lambda<0\), меняем направление на противоположное;
• если \(\lambda=0\), получаем нулевой вектор.

Сумму векторов строим по правилу треугольника: второй вектор откладываем от конца первого.

Построение пунктов

\[ \begin{aligned} \text{а)}\quad &\vec x+2\vec y;\\ \text{б)}\quad &\frac12\vec y+\vec x;\\ \text{в)}\quad &3\vec x+\frac12\vec y;\\ \text{г)}\quad &1\frac12\vec x-3\vec y =1\frac12\vec x+(-3\vec y);\\ \text{д)}\quad &0\vec x+4\vec y=4\vec y;\\ \text{е)}\quad &-2\vec x+0\vec y=-2\vec x. \end{aligned} \]

В пунктах д) и е) один из векторов равен нулю, поэтому его можно не учитывать.

Пример для неколлинеарных векторов

Возьмём

\[ \vec x=(1;0),\qquad \vec y=(0;1). \]

Тогда концы искомых векторов имеют координаты:

\[ \begin{array}{c|c} \text{Пункт} & \text{Результат}\\ \hline \text{а)} & (1;2)\\ \text{б)} & \left(1;\frac12\right)\\ \text{в)} & \left(3;\frac12\right)\\ \text{г)} & \left(\frac32;-3\right)\\ \text{д)} & (0;4)\\ \text{е)} & (-2;0) \end{array} \]

Чтобы начертить результат, отложи соответствующий вектор из начала координат \(O\).

Пример для коллинеарных ненулевых векторов

Возьмём

\[ \vec x=(2;0),\qquad \vec y=(1;0). \]

Они ненулевые и лежат на одной прямой:

\[ \begin{array}{c|c} \text{Пункт} & \text{Результат}\\ \hline \text{а)} & (4;0)\\ \text{б)} & \left(\frac52;0\right)\\ \text{в)} & \left(\frac{13}{2};0\right)\\ \text{г)} & (0;0)\\ \text{д)} & (0;4)\\ \text{е)} & (-4;0) \end{array} \]

Проверка пункта г):

\[ 1\frac12\vec x-3\vec y =\frac32(2;0)-3(1;0) =(3;0)-(3;0) =(0;0). \]

Все результаты для коллинеарных \(\vec x\) и \(\vec y\) также лежат на одной прямой.