1.148
Краткий ответ:
а) \(\dfrac{1}{25}\); б) \(1\); в) \(\dfrac14\); г) \(\dfrac{1}{100}\);
д) \(625\); е) \(\dfrac13\); ж) \(125\); з) \(81\);
и) \(0{,}001\); к) \(\dfrac17\); л) \(\dfrac{1}{10}\); м) \(25\).
Используем правила:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}. \]
Также \(a^{-n}=\dfrac1{a^n}\).
Решение:
а)
\[
5^{-7}\cdot5^5=5^{-7+5}=5^{-2}=\frac1{25}.
\]
б) Так как \(2\dfrac25=2{,}4\), то
\[ (2{,}4)^{-6}\cdot(2{,}4)^6=(2{,}4)^0=1. \]
в) Представим \(4=2^2\):
\[ 4\cdot2^{-4}=2^2\cdot2^{-4}=2^{-2}=\frac14. \]
г)
\[
10^{-5}:10^{-3}=10^{-5-(-3)}=10^{-2}=\frac1{100}.
\]
д) Число \(5\) можно записать как \(5^1\):
\[ 5:5^{-3}=5^{1-(-3)}=5^4=625. \]
е) Деление выполняем слева направо:
\[ 3^7:3^9:3^{-1} =3^{7-9-(-1)} =3^{-1} =\frac13. \]
ж)
\[
(5^{-3})^{-1}=5^{(-3)\cdot(-1)}=5^3=125.
\]
з)
\[
\left(\left(\frac13\right)^{-1}\right)^4
=3^4=81.
\]
и)
\[
\left((0{,}1)^{-3}\right)^{-1}
=(0{,}1)^{(-3)\cdot(-1)}
=(0{,}1)^3=0{,}001.
\]
к)
\[
(7^{-2})^{-3}:7^7
=7^6:7^7
=7^{6-7}
=7^{-1}
=\frac17.
\]
л) Представим \(100\) как \(10^2\):
\[ 100^{-8}:10^{-15} =(10^2)^{-8}:10^{-15} =10^{-16-(-15)} =10^{-1} =\frac1{10}. \]
м)
\[
5^{-4}:(5^{-2})^3
=5^{-4}:5^{-6}
=5^{-4-(-6)}
=5^2=25.
\]
Проверка: например, \(4\cdot2^{-4}=4\cdot\dfrac1{16}=\dfrac14\), а \(5:5^{-3}=5:\dfrac1{125}=625\). Значит, знаки отрицательных показателей учтены верно.
