Моторная лодка прошла по озеру в направлении на северо-восток 2 км,а затем в северном направлении еще 1 км.найдите геометрическим построением модуль и направление перемещения

Краткий ответ: модуль перемещения лодки

\[ |\vec s|=\sqrt{5+2\sqrt2}\approx 2{,}8\text{ км}. \]

Направление — на северо-восток, под углом примерно \(30{,}4^\circ\) к северу в сторону востока (или \(59{,}6^\circ\) к востоку в сторону севера).

Геометрическое построение

Возьмём масштаб: \(1\text{ см}=1\text{ км}\).

1. Из точки \(A\) проведём вектор \(\overrightarrow{AB}=2\) см на северо-восток.
2. Из точки \(B\) проведём вектор \(\overrightarrow{BC}=1\) см на север.
3. Соединим начальную точку \(A\) с конечной точкой \(C\). Вектор \(\overrightarrow{AC}\) — искомое перемещение.

Угол между направлениями «северо-восток» и «север» равен \(45^\circ\). В треугольнике \(ABC\) угол при \(B\) равен \(135^\circ\), поэтому:

\[ AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos135^\circ. \]

\[ AC^2=2^2+1^2-2\cdot2\cdot1\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right) =5+2\sqrt2. \]

\[ AC=\sqrt{5+2\sqrt2}\approx2{,}8\text{ км}. \]

Проверка направления по проекциям:

\[ x=2\sin45^\circ=\sqrt2,\qquad y=2\cos45^\circ+1=\sqrt2+1. \]

\[ \tan\alpha=\frac{x}{y} =\frac{\sqrt2}{\sqrt2+1}, \qquad \alpha\approx30{,}4^\circ. \]

Значит, лодка сместилась на \(2{,}8\) км в направлении \(30{,}4^\circ\) восточнее севера.