1

Краткий ответ:
\[ C,D\in\alpha,\qquad S_{ABCD}=16\sqrt3\ \text{см}^2. \]

1. Доказательство принадлежности точек плоскости

Точка \(O\) лежит на диагоналях \(AC\) и \(BD\), поэтому:

• \(A,O,C\) лежат на одной прямой;
• \(B,O,D\) лежат на одной прямой.

Так как \(A,O\in\alpha\), то вся прямая \(AO\) лежит в плоскости \(\alpha\). Следовательно, \(C\in\alpha\).

Аналогично, \(B,O\in\alpha\), значит, прямая \(BO\) лежит в \(\alpha\), поэтому \(D\in\alpha\).

Таким образом, \[ C,D\in\alpha. \]

2. Вычисление площади

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам:

\[ AC=BD=8,\qquad OA=OB=4. \]

Рассмотрим треугольник \(AOB\). В нём \(OA=OB=4\), а угол между ними равен \(60^\circ\). По теореме косинусов:

\[ AB^2=OA^2+OB^2-2\cdot OA\cdot OB\cos60^\circ, \]

\[ AB^2=4^2+4^2-2\cdot4\cdot4\cdot\frac12=16, \]

\[ AB=4\text{ см}. \]

В прямоугольном треугольнике \(ABC\):

\[ BC=\sqrt{AC^2-AB^2} =\sqrt{8^2-4^2} =\sqrt{48}=4\sqrt3\text{ см}. \]

Тогда площадь прямоугольника:

\[ S=AB\cdot BC=4\cdot4\sqrt3 =\boxed{16\sqrt3\text{ см}^2}. \]

Проверка:

\[ 4^2+(4\sqrt3)^2=16+48=64=8^2. \]