Краткий ответ

План урока на 45 минут можно построить так:

1. Вспомнить, что такое случайный опыт и событие.
2. Вывести формулу классической вероятности: \[ P(A)=\frac{m}{n}, \] где \(n\) — число всех равновозможных исходов, \(m\) — число благоприятных исходов.
3. Исследовать монету и игральную кость с помощью практических бросков.
4. Решить интерактивные задания индивидуально, в парах и группах.
5. Проверить понимание с помощью небольшого теста и рефлексии.

---

План урока

Тема

Классические модели теории вероятностей: монета и игральная кость

Класс

8-й

Продолжительность

45 минут

Цель урока

Научить находить вероятность события в простейших классических моделях — при броске монеты и игральной кости.

Основная формула

Если все исходы равновозможны, то

\[ P(A)=\frac{m}{n}, \]

где:

• \(n\) — количество всех возможных исходов;
• \(m\) — количество исходов, благоприятных для события \(A\).

---

Ход урока

Этап	Время	Содержание
1. Мотивация	3 мин	Учитель задаёт вопрос: «Что вероятнее: выпадение орла или решки? А числа 5 при броске кости?»
2. Актуализация знаний	5 мин	Повторить понятия: случайный опыт, исход, событие, достоверное и невозможное событие
3. Объяснение нового материала	7 мин	Разобрать модели монеты и игральной кости
4. Практический эксперимент	8 мин	Броски монеты и кости, заполнение таблицы результатов
5. Интерактивная работа	12 мин	Задания в парах или группах
6. Самостоятельная проверка	7 мин	Мини-тест
7. Рефлексия	3 мин	Ответ на вопрос: «Как найти вероятность события?»

---

1. Мотивация

Учитель предлагает ученикам быстро проголосовать карточками или поднятием руки:

1. При правильном броске монеты что выпадет вероятнее: орёл или решка?
2. При броске игральной кости что вероятнее: число 6 или чётное число?
3. Может ли вероятность быть равна \(1{,}2\)?

После голосования ученики объясняют свои предположения.

Вывод:

• у монеты два равновозможных исхода;
• у игральной кости шесть равновозможных исходов;
• вероятность всегда находится от \(0\) до \(1\).

---

2. Объяснение моделей

Модель монеты

Возможные исходы:

\[ \Omega=\{\text{орёл},\text{решка}\}. \]

Всего исходов:

\[ n=2. \]

Вероятность выпадения орла:

\[ P(\text{орёл})=\frac12. \]

Вероятность выпадения решки:

\[ P(\text{решка})=\frac12. \]

Модель игральной кости

Возможные исходы:

\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\}. \]

Всего исходов:

\[ n=6. \]

Вероятность выпадения каждой конкретной грани:

\[ P(1)=P(2)=\dots=P(6)=\frac16. \]

Пример

Найти вероятность выпадения чётного числа.

Чётные числа на кости:

\[ 2,\ 4,\ 6. \]

Благоприятных исходов \(m=3\), всех исходов \(n=6\).

\[ P(\text{чётное число})=\frac{3}{6}=\frac12. \]

---

3. Практический эксперимент

Ученики работают в парах.

Задание 1. Монета

Бросить монету 20 раз и занести результаты в таблицу.

Исход	Количество выпадений	Относительная частота
Орёл
Решка

Затем сравнить полученные частоты с теоретической вероятностью:

\[ P(\text{орёл})=P(\text{решка})=\frac12. \]

Обсуждение:

• Обязательно ли орёл выпадет ровно 10 раз?
• Почему экспериментальная частота может отличаться от \(\frac12\)?
• Что произойдёт при большом количестве бросков?

Важно подчеркнуть: экспериментальная частота обычно приближается к теоретической вероятности, но не обязана быть точно равной ей.

Задание 2. Игральная кость

Бросить кость 30 раз и записать результаты.

Число	1	2	3	4	5	6
Количество выпадений

Ученики проверяют, насколько часто выпадали:

• чётные числа;
• нечётные числа;
• число 6.

---

4. Интерактивная игра «Вероятность события»

Учитель показывает событие, а ученики поднимают карточку с ответом или выбирают вариант на интерактивной доске.

Задания

1. При броске монеты выпадет орёл. \[ P=\frac12 \]

2. При броске кости выпадет число 4. \[ P=\frac16 \]

3. Выпадет нечётное число.

   Благоприятные исходы: \(1,3,5\).

   \[ P=\frac36=\frac12 \]

4. Выпадет число больше 4.

   Благоприятные исходы: \(5,6\).

   \[ P=\frac26=\frac13 \]

5. Выпадет простое число.

   Простые числа: \(2,3,5\).

   \[ P=\frac36=\frac12 \]

6. Выпадет число меньше 7.

   Все числа \(1,2,3,4,5,6\) подходят.

   \[ P=\frac66=1 \]

7. Выпадет число 8.

   Таких исходов нет.

   \[ P=0 \]

---

5. Работа в парах

Задание 3

Монету и игральную кость бросают одновременно.

Вопрос 1

Сколько всего равновозможных исходов?

Для монеты — 2 исхода, для кости — 6:

\[ n=2\cdot 6=12. \]

Вопрос 2

Найти вероятность события: выпали орёл и чётное число.

Подходящие результаты:

\[ (\text{орёл},2),\quad (\text{орёл},4),\quad (\text{орёл},6). \]

Благоприятных исходов \(m=3\), поэтому

\[ P=\frac{3}{12}=\frac14. \]

Вопрос 3

Найти вероятность выпадения числа больше 4 независимо от результата на монете.

Числа больше 4: \(5,6\). Для каждого из них возможны два результата монеты:

\[ m=4. \]

Тогда

\[ P=\frac{4}{12}=\frac13. \]

---

6. Алгоритм решения задач

Предложите ученикам пользоваться следующим планом:

1. Определить все возможные исходы.
2. Посчитать их количество \(n\).
3. Выделить благоприятные исходы.
4. Посчитать их количество \(m\).
5. Применить формулу \[ P(A)=\frac{m}{n}. \]
6. Проверить результат: \[ 0\leqslant P(A)\leqslant1. \]

Например, если вероятность получилась \(1{,}4\), значит, в решении допущена ошибка.

---

7. Мини-тест в конце урока

Задания

1. Найдите вероятность выпадения решки при броске монеты.

2. Найдите вероятность выпадения числа 3 при броске кости.

3. Найдите вероятность выпадения числа, кратного 3.

4. Найдите вероятность выпадения числа, не превосходящего 6.

5. Найдите вероятность выпадения числа 7.

Ответы

1. \[ \frac12 \]

2. \[ \frac16 \]

3. Кратны 3 числа \(3\) и \(6\):

   \[ \frac26=\frac13 \]

4. Все результаты подходят:

   \[ 1 \]

5. Событие невозможное:

   \[ 0 \]

---

8. Рефлексия

В конце урока ученики заканчивают фразы:

• «Чтобы найти классическую вероятность, нужно…»
• «У монеты всего … равновозможных исхода».
• «У игральной кости всего … равновозможных исходов».
• «Вероятность достоверного события равна …».
• «Вероятность невозможного события равна …».

Ожидаемые ответы

• перечислить все исходы и посчитать благоприятные;
• 2;
• 6;
• \(1\);
• \(0\).

---

Критерии оценивания

Ученик:

• правильно перечисляет возможные исходы;
• различает благоприятные и неблагоприятные исходы;
• применяет формулу \(P(A)=\frac{m}{n}\);
• сокращает дробь;
• понимает смысл вероятности \(0\) и \(1\);
• может объяснить отличие теоретической вероятности от экспериментальной частоты.

Домашнее задание

Составить 4 задачи:

• одну про бросок монеты;
• две про игральную кость;
• одну про одновременный бросок монеты и кости.

К каждой задаче записать решение и ответ.