Реши 291
Краткий ответ. Пусть \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, \(AD\parallel BC\), \(AB=CD\). Тогда:
\[ \boxed{\angle A=\angle D,\qquad \angle B=\angle C} \]
и
\[ \boxed{AC=BD}. \]
Доказательство
а) Углы при каждом основании равны
Опустим из вершин \(B\) и \(C\) перпендикуляры \(BE\) и \(CF\) на прямую \(AD\).
Так как \(AD\parallel BC\), расстояния между этими параллельными прямыми равны:
\[ BE=CF. \]
Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABE\) и \(DCF\):
- \(AB=CD\) — боковые стороны равнобедренной трапеции;
- \(BE=CF\);
- оба треугольника прямоугольные.
Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету. Поэтому соответствующие углы равны:
\[ \angle A=\angle D. \]
Поскольку \(AD\parallel BC\), односторонние углы supplementary:
\[ \angle A+\angle B=180^\circ, \qquad \angle D+\angle C=180^\circ. \]
Из \(\angle A=\angle D\) следует:
\[ \angle B=\angle C. \]
б) Диагонали равны
Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(DCA\):
- \(AB=CD\);
- \(AD\) — общая сторона;
- \(\angle BAD=\angle CDA\).
Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, их соответствующие стороны равны:
\[ \boxed{BD=AC}. \]
Принцип: сначала доказывают равенство углов при основаниях, используя равенство боковых сторон, а затем через равенство треугольников получают равенство диагоналей.
Обсуждение
2 сообщенияДакажи что в равнобедреной трапеции диагонали равны
Пусть \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, где \(AD\parallel BC\), а боковые стороны равны:
\[ AB=CD. \]
Докажем, что диагонали равны:
\[ AC=BD. \]
Доказательство
Сначала докажем равенство углов при большем основании:
\[ \angle BAD=\angle CDA. \]
Опустим из вершин \(B\) и \(C\) перпендикуляры \(BE\) и \(CF\) на прямую \(AD\). Расстояние между параллельными прямыми \(AD\) и \(BC\) одинаково, поэтому
\[ BE=CF. \]
Прямоугольные треугольники \(ABE\) и \(DCF\) равны по гипотенузе и катету:
\[ AB=CD,\qquad BE=CF. \]
Следовательно,
\[ \angle BAD=\angle CDA. \]
Теперь рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(DCA\):
- \(AB=CD\);
- \(AD\) — общая сторона;
- \(\angle BAD=\angle CDA\).
Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому соответствующие стороны равны:
\[ \boxed{BD=AC}. \]
Следовательно, диагонали равнобедренной трапеции равны.
