Реши задание на изображении
Краткий ответ
- №1 б) \(x=0,\ \dfrac{13-9\sqrt{57}}{16},\ \dfrac{13+9\sqrt{57}}{16}\).
- №2 б) \(x=2,\ \dfrac{26}{3}\).
- №2 в) \(x=4\).
- №3 а) \(a=\dfrac32\).
- №3 б) \(a=-\dfrac12\).
- №4 а) \(x=13,\ \dfrac{41}{5}\).
- №4 б) \(x=3,\ -\dfrac{33}{5}\).
- №5 а) \(x=8,\ \dfrac{16}{5}\).
Решение
Во всех рациональных уравнениях сначала находим ОДЗ: значения, при которых знаменатели не равны нулю.
№1 б)
\[ \frac{x+5}{x-1}+\frac{2x-5}{x-7} -\frac{30-12x}{8x^2-x-7}=0. \]
\[ 8x^2-x-7=(x-1)(8x+7), \]
поэтому
\[ x\ne1,\quad x\ne7,\quad x\ne-\frac78. \]
Умножим на общий знаменатель:
\[ (x+5)(x-7)(8x+7)+(2x-5)(x-1)(8x+7) +6(2x-5)(x-7)=0. \]
После упрощения:
\[ 3x(8x^2-13x-139)=0. \]
Отсюда
\[ x=0 \]
или
\[ 8x^2-13x-139=0. \]
\[ D=(-13)^2-4\cdot8\cdot(-139)=4617=81\cdot57, \]
\[ x=\frac{13\pm9\sqrt{57}}{16}. \]
Все найденные значения входят в ОДЗ.
№2 б)
\[ \frac{5x-1}{x+7}-\frac{2x+2}{x-3} +\frac{63}{x^2+4x-21}=0. \]
\[ x^2+4x-21=(x+7)(x-3), \]
ОДЗ:
\[ x\ne-7,\quad x\ne3. \]
Умножаем на \((x+7)(x-3)\):
\[ (5x-1)(x-3)-(2x+2)(x+7)+63=0. \]
\[ 3x^2-32x+52=0, \]
\[ (3x-26)(x-2)=0. \]
\[ x=2,\qquad x=\frac{26}{3}. \]
№2 в)
\[ \frac{x}{x^2+4x+4} =\frac4{x^2-4} -\frac{16}{x^3+2x^2-4x-8}. \]
Разложим знаменатели:
\[ x^2+4x+4=(x+2)^2, \]
\[ x^2-4=(x-2)(x+2), \]
\[ x^3+2x^2-4x-8=(x-2)(x+2)^2. \]
ОДЗ:
\[ x\ne-2,\quad x\ne2. \]
После умножения на общий знаменатель:
\[ x(x-2)=4(x+2)-16. \]
\[ x(x-2)=4(x-2), \]
\[ (x-2)(x-4)=0. \]
\(x=2\) не входит в ОДЗ, поэтому
\[ \boxed{x=4}. \]
№3 а)
\[ \frac{a+1}{a-2}+\frac{a-4}{a+1} =\frac{3a+3}{a^2-a-2}. \]
\[ a^2-a-2=(a-2)(a+1), \]
ОДЗ:
\[ a\ne2,\quad a\ne-1. \]
Умножаем на \((a-2)(a+1)\):
\[ (a+1)^2+(a-4)(a-2)=3a+3. \]
\[ 2a^2-4a+9=3a+3, \]
\[ 2a^2-7a+6=0, \]
\[ (2a-3)(a-2)=0. \]
\(a=2\) исключается по ОДЗ, поэтому
\[ \boxed{a=\frac32}. \]
№3 б)
\[ \frac{3a-5}{a^2-1} -\frac{6a-5}{a-a^2} =\frac{3a+2}{a^2+a}. \]
ОДЗ:
\[ a\ne-1,\quad a\ne0,\quad a\ne1. \]
После приведения к общему знаменателю:
\[ a(3a-5)+(6a-5)(a+1)=(3a+2)(a-1). \]
\[ 9a^2-4a-5=3a^2-a-2, \]
\[ 2a^2-a-1=0, \]
\[ (2a+1)(a-1)=0. \]
\(a=1\) исключается по ОДЗ, значит
\[ \boxed{a=-\frac12}. \]
№4 а)
\[ \frac1{x-7}-\frac1{x-1} =\frac1{x-10}-\frac1{x-9}. \]
ОДЗ:
\[ x\ne7,\ 1,\ 10,\ 9. \]
Преобразуем разности:
\[ \frac6{(x-7)(x-1)} =\frac1{(x-10)(x-9)}. \]
Перемножаем крест-накрест:
\[ 6(x-10)(x-9)=(x-7)(x-1). \]
\[ 5x^2-106x+533=0, \]
\[ (x-13)(5x-41)=0. \]
\[ \boxed{x=13,\quad x=\frac{41}{5}}. \]
№4 б)
\[ \frac1{x+3}-\frac1{x+9} =\frac1{x+5}-\frac1{x+21}. \]
ОДЗ:
\[ x\ne-3,\ -9,\ -5,\ -21. \]
\[ \frac6{(x+3)(x+9)} =\frac{16}{(x+5)(x+21)}. \]
После перемножения:
\[ 3(x+5)(x+21)=8(x+3)(x+9). \]
\[ 5x^2+18x-99=0, \]
\[ (x-3)(5x+33)=0. \]
\[ \boxed{x=3,\quad x=-\frac{33}{5}}. \]
№5 а)
\[ \frac1{x-4}+\frac1{x-2} =\frac1{x+4}+\frac1{x-5}. \]
ОДЗ:
\[ x\ne4,\ 2,\ -4,\ 5. \]
Приведём дроби:
\[ \frac{2x-6}{(x-4)(x-2)} =\frac{2x-1}{(x+4)(x-5)}. \]
Перемножаем:
\[ (2x-6)(x+4)(x-5) =(2x-1)(x-4)(x-2). \]
После упрощения:
\[ 5x^2-56x+128=0, \]
\[ (x-8)(5x-16)=0. \]
\[ \boxed{x=8,\quad x=\frac{16}{5}}. \]
Во всех ответах оставлены только те корни, которые не обращают знаменатели в ноль.
