32 и 34
Краткий ответ
32.
а) \(5\); б) \(\dfrac32\); в) \(-2\); г) \(\dfrac52\).
34.
а) \(3x-y\); б) \(\dfrac{a}{2b-1}\); в) \(\dfrac1{x-2}\); г) \(a^2-a+1\).
Решение
Главный принцип: разложить числитель и знаменатель на множители, сократить общий множитель, затем подставить значения.
32
а)
\[
\frac{15a^2-10ab}{3a^2-2ab}
=\frac{5a(3a-2b)}{a(3a-2b)}=5.
\]
б)
\[
\frac{9c^2-4d^2}{18c^2d-12cd^2}
=
\frac{(3c-2d)(3c+2d)}{6cd(3c-2d)}
=
\frac{3c+2d}{6cd}.
\]
Подставим \(c=\dfrac23,\ d=\dfrac12\):
\[ \frac{3\cdot\frac23+2\cdot\frac12} {6\cdot\frac23\cdot\frac12} = \frac{2+1}{2} = \frac32. \]
в)
\[
\frac{6x^2+12xy}{5xy+10y^2}
=
\frac{6x(x+2y)}{5y(x+2y)}
=
\frac{6x}{5y}.
\]
\[ \frac{6\cdot\frac23}{5\cdot(-0,4)} = \frac4{-2}=-2. \]
г)
\[
\frac{x^2+6xy+9y^2}{4x^2+12xy}
=
\frac{(x+3y)^2}{4x(x+3y)}
=
\frac{x+3y}{4x}.
\]
\[ \frac{-0,2+3(-0,6)}{4(-0,2)} = \frac{-2}{-0,8} = \frac52. \]
Проверка подстановкой в исходные дроби даёт те же значения.
34
а)
\[
(9x^2-y^2):(3x+y)
=
\frac{(3x-y)(3x+y)}{3x+y}
=
3x-y.
\]
б)
\[
(2ab-a):(4b^2-4b+1)
=
\frac{a(2b-1)}{(2b-1)^2}
=
\frac{a}{2b-1}.
\]
в)
\[
(x^2+2x+4):(x^3-8)
=
\frac{x^2+2x+4}{(x-2)(x^2+2x+4)}
=
\frac1{x-2}.
\]
г)
\[
(1+a^3):(1+a)
=
\frac{(1+a)(a^2-a+1)}{1+a}
=
a^2-a+1.
\]
При сокращении общий множитель должен быть ненулевым: например, в 34г \(a\ne-1\), в 34в \(x\ne2\).
Обсуждение
2 сообщенияРазбери отдельно факторизацию в пункте 32
Разберём только факторизацию в каждом выражении № 32.
а)
\[ 15a^2-10ab \]
В обоих слагаемых есть общий множитель \(5a\):
\[ 15a^2=5a\cdot 3a,\qquad -10ab=5a\cdot(-2b). \]
Значит,
\[ 15a^2-10ab=5a(3a-2b). \]
Аналогично:
\[ 3a^2-2ab=a(3a-2b). \]
Получаем:
\[ \frac{15a^2-10ab}{3a^2-2ab} = \frac{5a(3a-2b)}{a(3a-2b)}. \]
б)
Числитель:
\[ 9c^2-4d^2=(3c)^2-(2d)^2. \]
Используем формулу разности квадратов:
\[ A^2-B^2=(A-B)(A+B). \]
Тогда:
\[ 9c^2-4d^2=(3c-2d)(3c+2d). \]
Знаменатель:
\[ 18c^2d-12cd^2. \]
Общий множитель — \(6cd\):
\[ 18c^2d=6cd\cdot 3c,\qquad 12cd^2=6cd\cdot 2d. \]
Поэтому:
\[ 18c^2d-12cd^2=6cd(3c-2d). \]
И вся дробь принимает вид:
\[ \frac{(3c-2d)(3c+2d)}{6cd(3c-2d)}. \]
в)
Числитель:
\[ 6x^2+12xy. \]
Общий множитель — \(6x\):
\[ 6x^2+12xy=6x(x+2y). \]
Знаменатель:
\[ 5xy+10y^2. \]
Общий множитель — \(5y\):
\[ 5xy+10y^2=5y(x+2y). \]
Значит,
\[ \frac{6x^2+12xy}{5xy+10y^2} = \frac{6x(x+2y)}{5y(x+2y)}. \]
г)
Числитель:
\[ x^2+6xy+9y^2. \]
Это квадрат суммы, потому что:
\[ x^2=x^2,\qquad 6xy=2\cdot x\cdot 3y,\qquad 9y^2=(3y)^2. \]
По формуле
\[ A^2+2AB+B^2=(A+B)^2 \]
получаем:
\[ x^2+6xy+9y^2=(x+3y)^2. \]
Знаменатель:
\[ 4x^2+12xy. \]
Общий множитель — \(4x\):
\[ 4x^2+12xy=4x(x+3y). \]
Поэтому:
\[ \frac{x^2+6xy+9y^2}{4x^2+12xy} = \frac{(x+3y)^2}{4x(x+3y)}. \]
Итак, здесь используются три основных приёма:
- вынесение общего множителя за скобки;
- разность квадратов;
- квадрат суммы.
