Объясни как решать тридцать второй и тридцать четвёртый
Краткий ответ
32. Найдите значение дроби:
- а) \(100\);
- б) \(\dfrac{3}{2}\);
- в) \(-2\);
- г) \(\dfrac{5}{2}\).
34. Представьте частное в виде дроби и сократите:
- а) \(3x-y\);
- б) \(\dfrac{a}{2b-1}\);
- в) \(\dfrac{1}{x-2}\);
- г) \(a^2-a+1\).
Задание 32
Главное правило: сначала разложить числитель и знаменатель на множители, затем сократить одинаковые множители.
а)
\[ \frac{15a^2-10ab}{3ab-2b^2} = \frac{5a(3a-2b)}{b(3a-2b)} = \frac{5a}{b}. \]
Подставим \(a=-2,\ b=-0{,}1\):
\[ \frac{5\cdot(-2)}{-0{,}1} = \frac{-10}{-0{,}1} =100. \]
б)
Используем разность квадратов:
\[ 9c^2-4d^2=(3c-2d)(3c+2d). \]
Знаменатель:
\[ 18c^2d-12cd^2=6cd(3c-2d). \]
Тогда
\[ \frac{9c^2-4d^2}{18c^2d-12cd^2} = \frac{(3c-2d)(3c+2d)}{6cd(3c-2d)} = \frac{3c+2d}{6cd}. \]
Подставим \(c=\dfrac23,\ d=\dfrac12\):
\[ \frac{3\cdot\frac23+2\cdot\frac12} {6\cdot\frac23\cdot\frac12} = \frac{2+1}{2} = \frac32. \]
в)
\[ 6x^2+12xy=6x(x+2y), \]
\[ 5xy+10y^2=5y(x+2y). \]
Поэтому
\[ \frac{6x^2+12xy}{5xy+10y^2} = \frac{6x(x+2y)}{5y(x+2y)} = \frac{6x}{5y}. \]
Подставим \(x=\dfrac23,\ y=-0{,}4\):
\[ \frac{6\cdot\frac23}{5\cdot(-0{,}4)} = \frac{4}{-2} =-2. \]
г)
\[ x^2+6xy+9y^2=(x+3y)^2, \]
\[ 4x^2+12xy=4x(x+3y). \]
Тогда
\[ \frac{x^2+6xy+9y^2}{4x^2+12xy} = \frac{(x+3y)^2}{4x(x+3y)} = \frac{x+3y}{4x}. \]
Подставим \(x=-0{,}2,\ y=-0{,}6\):
\[ \frac{-0{,}2+3\cdot(-0{,}6)}{4\cdot(-0{,}2)} = \frac{-2}{-0{,}8} = \frac52. \]
Проверка прямой подстановкой: получаются соответственно
\[
\frac{58}{0{,}58}=100,\quad
\frac32,\quad
\frac{-8/15}{4/15}=-2,\quad
\frac{4}{1{,}6}=\frac52.
\]
Задание 34
Знак «\( : \)» означает деление, поэтому сначала записываем частное дробью.
а)
\[ (9x^2-y^2):(3x+y) = \frac{9x^2-y^2}{3x+y}. \]
Разложим разность квадратов:
\[ 9x^2-y^2=(3x-y)(3x+y). \]
Тогда
\[ \frac{(3x-y)(3x+y)}{3x+y} = 3x-y. \]
б)
\[ (2ab-a):(4b^2-4b+1) = \frac{2ab-a}{4b^2-4b+1}. \]
Вынесем \(a\) и разложим квадратный трёхчлен:
\[ 2ab-a=a(2b-1), \]
\[ 4b^2-4b+1=(2b-1)^2. \]
Следовательно,
\[ \frac{a(2b-1)}{(2b-1)^2} = \frac{a}{2b-1}. \]
в)
\[ (x^2+2x+4):(x^3-8) = \frac{x^2+2x+4}{x^3-8}. \]
Разложим разность кубов:
\[ x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4). \]
Тогда
\[ \frac{x^2+2x+4}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac1{x-2}. \]
г)
\[ (1+a^3):(1+a) = \frac{1+a^3}{1+a}. \]
Разложим сумму кубов:
\[ 1+a^3=(1+a)(a^2-a+1). \]
Значит,
\[ \frac{(1+a)(a^2-a+1)}{1+a} = a^2-a+1. \]
Что важно запомнить
- Двоеточие заменяем дробью.
- Числитель и знаменатель раскладываем на множители.
- Сокращаем только одинаковые множители, а не отдельные слагаемые.
- Ограничения сохраняются: знаменатель исходной дроби не должен быть равен нулю.
Обсуждение
2 сообщенияЯ до сих пор не поняла объясни мне подробно откуда появилась три а минус 2 Б там что-то не поняла
Конечно. Разберём только это место очень медленно.
В числителе было:
\[ 15a^2-10ab. \]
Мы хотим вынести общий множитель. В обоих слагаемых есть \(5a\):
- \(15a^2=5a\cdot 3a\);
- \(10ab=5a\cdot 2b\).
Поэтому:
\[ 15a^2-10ab=5a\cdot 3a-5a\cdot 2b. \]
Теперь выносим \(5a\) за скобки:
\[ 5a\cdot 3a-5a\cdot 2b = 5a(3a-2b). \]
Вот откуда появилась скобка \(\boxed{3a-2b}\): мы разделили каждое слагаемое на вынесенный множитель \(5a\):
\[ 15a^2:5a=3a,\qquad 10ab:5a=2b. \]
Знак минус сохранился:
\[ 15a^2-10ab=5a(3a-2b). \]
Проверим обратным умножением:
\[ 5a(3a-2b)=5a\cdot3a-5a\cdot2b =15a^2-10ab. \]
Теперь знаменатель:
\[ 3ab-2b^2. \]
Здесь общий множитель — \(b\):
\[ 3ab=b\cdot3a,\qquad 2b^2=b\cdot2b. \]
Значит,
\[ 3ab-2b^2=b(3a-2b). \]
Получается:
\[ \frac{15a^2-10ab}{3ab-2b^2} = \frac{5a(3a-2b)}{b(3a-2b)}. \]
Одинаковую скобку \((3a-2b)\) можно сократить:
\[ \frac{5a\cancel{(3a-2b)}}{b\cancel{(3a-2b)}} = \frac{5a}{b}. \]
То есть \(3a-2b\) не появляется случайно — это оставшиеся множители после вынесения \(5a\) и \(b\) за скобки.
