Log 1|2 ([-3)+log 1|2(9-[) ,больше или равно -3

Краткий ответ (если неравенство записано так): \[ \log_{\frac12}(x-3)+\log_{\frac12}(9-x)\ge -3, \] то \[ \boxed{x\in(3;5]\cup[7;9)}. \]

Решение

1. Область допустимых значений: \[ x-3>0,\qquad 9-x>0. \] Отсюда: \[ 3<x<9. \]

2. Объединим логарифмы: \[ \log_{\frac12}\bigl((x-3)(9-x)\bigr)\ge -3. \]

Так как основание \(\frac12<1\), функция убывает, поэтому: \[ 0<(x-3)(9-x)\le \left(\frac12\right)^{-3}=8. \]

3. Решим неравенство: \[ (x-3)(9-x)\le8, \] \[ -x^2+12x-27\le8, \] \[ x^2-12x+35\ge0, \] \[ (x-5)(x-7)\ge0. \]

Значит, \[ x\le5\quad\text{или}\quad x\ge7. \]

Пересекаем с ОДЗ \(3<x<9\): \[ \boxed{x\in(3;5]\cup[7;9)}. \]

Проверка: при \(x=5\) и \(x=7\) выражение равно \(-3\), поэтому эти точки входят в ответ.