Номер 80

№ 80

Краткий ответ

\[ \begin{aligned} \text{а)}&\quad \frac{a+b+c}{abc};\\ \text{б)}&\quad b-a;\\ \text{в)}&\quad 0;\\ \text{г)}&\quad \frac{a}{b}. \end{aligned} \]

Решение

Принцип: приводим все дроби к общему знаменателю, складываем или вычитаем числители, затем упрощаем.

а) Общий знаменатель — \(abc\):

\[ \frac1{ab}+\frac1{ac}+\frac1{bc} =\frac{c+b+a}{abc} =\frac{a+b+c}{abc}. \]

б) Общий знаменатель — \(ab\):

\[ \begin{aligned} \frac{ab-b}{a}-\frac{ab-a}{b}-\frac{a^2-b^2}{ab} &=\frac{b(ab-b)-a(ab-a)-(a^2-b^2)}{ab}\\ &=\frac{ab^2-b^2-a^2b+a^2-a^2+b^2}{ab}\\ &=\frac{ab^2-a^2b}{ab}\\ &=\frac{ab(b-a)}{ab}=b-a. \end{aligned} \]

в) Общий знаменатель — \(abc\):

\[ \begin{aligned} \frac{b-a}{ab}+\frac{c-b}{bc}-\frac{c-a}{ac} &=\frac{c(b-a)+a(c-b)-b(c-a)}{abc}\\ &=\frac{bc-ac+ac-ab-bc+ab}{abc}\\ &=0. \end{aligned} \]

г) Общий знаменатель — \(ab\):

\[ \begin{aligned} \frac{3ab+2b^2}{ab}-\frac{a+2b}{a}+\frac{a-2b}{b} &=\frac{3ab+2b^2-b(a+2b)+a(a-2b)}{ab}\\ &=\frac{3ab+2b^2-ab-2b^2+a^2-2ab}{ab}\\ &=\frac{a^2}{ab} =\frac ab. \end{aligned} \]

Проверка: при \(a=1,\ b=2,\ c=3\) исходные выражения дают соответственно \(1,\ 1,\ 0,\ \frac12\), как и полученные ответы.

Ограничения: для пунктов а) и в) \(a,b,c\ne0\); для б) и г) \(a,b\ne0\).