Сдела с полным разложением
Краткий ответ
\[ \begin{aligned} \text{НОД}(18;30)&=6,\\ \text{НОД}(15;45)&=15,\\ \text{НОД}(72;108)&=36,\\ \text{НОК}(16;24)&=48,\\ \text{НОК}(6;18)&=18,\\ \text{НОК}(9;20)&=180. \end{aligned} \]
Полное разложение и решение
Правило:
- для нахождения НОД берём общие простые множители в наименьших степенях;
- для нахождения НОК берём все простые множители в наибольших степенях.
1. НОД(18; 30)
\[ 18=2\cdot3^2,\qquad 30=2\cdot3\cdot5 \]
Общие множители:
\[ \text{НОД}(18;30)=2\cdot3=6. \]
2. НОД(15; 45)
\[ 15=3\cdot5,\qquad 45=3^2\cdot5 \]
\[ \text{НОД}(15;45)=3\cdot5=15. \]
3. НОД(72; 108)
\[ 72=2^3\cdot3^2,\qquad 108=2^2\cdot3^3 \]
Берём меньшие степени:
\[ \text{НОД}(72;108)=2^2\cdot3^2=4\cdot9=36. \]
4. НОК(16; 24)
\[ 16=2^4,\qquad 24=2^3\cdot3 \]
Берём наибольшие степени:
\[ \text{НОК}(16;24)=2^4\cdot3=16\cdot3=48. \]
5. НОК(6; 18)
\[ 6=2\cdot3,\qquad 18=2\cdot3^2 \]
\[ \text{НОК}(6;18)=2\cdot3^2=2\cdot9=18. \]
6. НОК(9; 20)
\[ 9=3^2,\qquad 20=2^2\cdot5 \]
Общих простых множителей нет, поэтому берём все:
\[ \text{НОК}(9;20)=2^2\cdot3^2\cdot5=4\cdot9\cdot5=180. \]
Проверка: найденный НОД делит оба числа, а найденный НОК делится на оба числа.
Обсуждение
4 сообщенияОбъясни, как находить НОД и НОК столбиком
Как находить НОД и НОК «столбиком»
Числа последовательно делят на простые множители: \(2,3,5,7,\ldots\).
1. НОД
При поиске НОД делим оба числа только на общий множитель. Когда общего делителя больше нет, останавливаемся.
Найдём \(\text{НОД}(18;30)\):
\[ \begin{array}{r r|l} 18&30&2\\ 9&15&3\\ 3&5& \end{array} \]
Справа записаны общие множители:
\[ \text{НОД}(18;30)=2\cdot3=6. \]
Проверка: \(18:6=3\), \(30:6=5\).
2. НОК
При поиске НОК продолжаем делить, пока оба числа не превратятся в \(1\).
Если множитель делит только одно число, второе число просто переписываем без изменения.
\[ \begin{array}{r r|l} 18&30&2\\ 9&15&3\\ 3&5&3\\ 1&5&5\\ 1&1& \end{array} \]
Перемножаем все множители справа:
\[ \text{НОК}(18;30)=2\cdot3\cdot3\cdot5=90. \]
Проверка:
\[ 90:18=5,\qquad 90:30=3. \]
Главное правило
- НОД — перемножаем только общие множители и останавливаемся, когда общих больше нет.
- НОК — перемножаем все множители, пока оба числа не станут равны \(1\).
Сделай столбиком все
Вот все примеры столбиком.
НОД
При нахождении НОД делим оба числа только на общие простые множители.
1. \(\text{НОД}(18;30)\)
\[ \begin{array}{r r|l} 18&30&2\\ 9&15&3\\ 3&5& \end{array} \]
\[ \text{НОД}(18;30)=2\cdot3=6. \]
2. \(\text{НОД}(15;45)\)
\[ \begin{array}{r r|l} 15&45&3\\ 5&15&5\\ 1&3& \end{array} \]
\[ \text{НОД}(15;45)=3\cdot5=15. \]
3. \(\text{НОД}(72;108)\)
\[ \begin{array}{r r|l} 72&108&2\\ 36&54&2\\ 18&27&3\\ 6&9&3\\ 2&3& \end{array} \]
\[ \text{НОД}(72;108)=2\cdot2\cdot3\cdot3=36. \]
НОК
При нахождении НОК делим числа на простые множители, пока оба числа не станут равны \(1\). Если делится только одно число, второе переписываем без изменения.
4. \(\text{НОК}(16;24)\)
\[ \begin{array}{r r|l} 16&24&2\\ 8&12&2\\ 4&6&2\\ 2&3&2\\ 1&3&3\\ 1&1& \end{array} \]
\[ \text{НОК}(16;24)=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3=48. \]
5. \(\text{НОК}(6;18)\)
\[ \begin{array}{r r|l} 6&18&2\\ 3&9&3\\ 1&3&3\\ 1&1& \end{array} \]
\[ \text{НОК}(6;18)=2\cdot3\cdot3=18. \]
6. \(\text{НОК}(9;20)\)
\[ \begin{array}{r r|l} 9&20&3\\ 3&20&2\\ 3&10&2\\ 3&5&3\\ 1&5&5\\ 1&1& \end{array} \]
\[ \text{НОК}(9;20)=3\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5=180. \]
Запомни:
- для НОД берём множители только до тех пор, пока они общие;
- для НОК перемножаем все множители справа до получения единиц.
