Исследуйте на чётность

Краткий ответ:

1. \(f(x)=10x^{11}\) — нечётная.
2. \(f(x)=-x^2-6x+4\) — ни чётная, ни нечётная.
3. \(f(x)=\dfrac{x^3-3x^2}{4x-12}\) — ни чётная, ни нечётная.
4. \(f(x)=\sqrt{x^2-16}\) — чётная.

Как исследовать функцию

Функция чётная, если область определения симметрична относительно нуля и

\[ f(-x)=f(x). \]

Функция нечётная, если

\[ f(-x)=-f(x). \]

1) \(f(x)=10x^{11}\)

\[ f(-x)=10(-x)^{11}=-10x^{11}=-f(x). \]

Значит, функция нечётная.

2) \(f(x)=-x^2-6x+4\)

\[ f(-x)=-(-x)^2-6(-x)+4=-x^2+6x+4. \]

Это не равно ни \(f(x)\), ни \(-f(x)\). Поэтому функция ни чётная, ни нечётная.

3)

\[ f(x)=\frac{x^3-3x^2}{4x-12}. \]

Область определения:

\[ 4x-12\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne3. \]

То есть

\[ D(f)=\mathbb R\setminus\{3\}. \]

Эта область несимметрична относительно нуля: число \(3\) исключено, а \(-3\) входит в область определения. Поэтому функция сразу не является ни чётной, ни нечётной.

Можно сократить выражение:

\[ f(x)=\frac{x^2(x-3)}{4(x-3)}=\frac{x^2}{4}, \qquad x\ne3, \]

но точка \(x=3\) всё равно остаётся исключённой.

4) \(f(x)=\sqrt{x^2-16}\)

Область определения:

\[ x^2-16\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\le-4 \quad\text{или}\quad x\ge4. \]

Она симметрична относительно нуля. Проверим:

\[ f(-x)=\sqrt{(-x)^2-16} =\sqrt{x^2-16} =f(x). \]

Следовательно, функция чётная.