Являются ли равносильными уравнения
Краткий ответ: оба уравнения в каждой паре не являются равносильными, потому что имеют разные множества решений.
Уравнения равносильны, если их решения полностью совпадают.
а)
\[ x\sqrt{x-8}=0 \quad\text{и}\quad (x-8)\sqrt{x}=0 \]
1-е уравнение:
ОДЗ: \[ x-8\ge 0 \Rightarrow x\ge 8. \]
Произведение равно нулю: \[ x=0 \quad\text{или}\quad \sqrt{x-8}=0. \]
С учётом ОДЗ подходит только: \[ x=8. \]
Множество решений: \[ \{8\}. \]
2-е уравнение:
ОДЗ: \[ x\ge 0. \]
\[ x-8=0 \quad\text{или}\quad \sqrt{x}=0, \] откуда \[ x=8 \quad\text{или}\quad x=0. \]
Множество решений: \[ \{0;8\}. \]
Так как множества решений разные, уравнения не равносильны.
б)
\[ \frac{x^2+4x+3}{x-1}=0 \quad\text{и}\quad x+3=0 \]
Для дроби ОДЗ: \[ x-1\ne0 \Rightarrow x\ne1. \]
Разложим числитель: \[ x^2+4x+3=(x+1)(x+3). \]
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: \[ (x+1)(x+3)=0. \]
Отсюда: \[ x=-1 \quad\text{или}\quad x=-3. \]
Оба значения допустимы, поэтому решения первого уравнения: \[ \{-1;-3\}. \]
Второе уравнение: \[ x+3=0 \Rightarrow x=-3. \]
Его множество решений: \[ \{-3\}. \]
Множества решений различаются, значит, уравнения не равносильны.
Ответ:
а) не равносильны;
б) не равносильны.
Обсуждение
2 сообщенияПокажи своё решение — проверю его.
Вот решение для проверки.
а)
\[ x\sqrt{x-8}=0 \]
ОДЗ:
\[ x-8\ge 0 \Rightarrow x\ge 8. \]
При \(x\ge 8\) значение \(x\neq0\), поэтому:
\[ \sqrt{x-8}=0 \Rightarrow x-8=0 \Rightarrow x=8. \]
Множество решений:
\[ S_1=\{8\}. \]
Второе уравнение:
\[ (x-8)\sqrt{x}=0. \]
ОДЗ:
\[ x\ge0. \]
Произведение равно нулю, если:
\[ x-8=0 \quad\text{или}\quad \sqrt{x}=0. \]
Отсюда:
\[ x=8 \quad\text{или}\quad x=0. \]
\[ S_2=\{0;8\}. \]
Так как \(S_1\ne S_2\), уравнения не равносильны.
б)
\[ \frac{x^2+4x+3}{x-1}=0 \]
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
\[ x^2+4x+3=0,\qquad x\ne1. \]
Разложим на множители:
\[ (x+1)(x+3)=0. \]
\[ x=-1 \quad\text{или}\quad x=-3. \]
Оба значения допустимы:
\[ S_1=\{-1;-3\}. \]
Второе уравнение:
\[ x+3=0 \Rightarrow x=-3. \]
\[ S_2=\{-3\}. \]
Множества решений различны, поэтому уравнения не равносильны.
Ответ:
а) не равносильны;
б) не равносильны.
