решите неравенство

Ответ: \[ x\in(-5;-1)\cup(1;2). \]

Решение.

ОДЗ: \[ x\ne1,\qquad x\ne2, \] так как знаменатель не должен быть равен нулю.

Нули числителя: \[ x+1=0\Rightarrow x=-1,\qquad x+5=0\Rightarrow x=-5. \]

Расставим критические точки: \[ -5,\;-1,\;1,\;2. \]

Проверяем знак дроби на промежутках:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty;-5)&(-5;-1)&(-1;1)&(1;2)&(2;+\infty)\\ \hline \dfrac{(x+1)(x+5)}{(x-2)(x-1)} &+&-&+&-&+ \end{array} \]

Нужно, чтобы дробь была отрицательной, поэтому выбираем промежутки, где стоит знак «−»:

\[ \boxed{x\in(-5;-1)\cup(1;2)}. \]

Точки \(-5\) и \(-1\) не входят, потому что неравенство строгое, а \(1\) и \(2\) не входят, поскольку обращают знаменатель в ноль.