решите неравенство
Формулировка ответа
Мне нужно создать таблицу, чтобы помочь визуализировать задачу. Я должен упомянуть, что не следует умножать на знаменатель, не понимая его знака. Проверка пробных точек или составление таблицы знаков необходимы. Я хочу следовать инструкциям разработчика и предоставить немедленный ответ. Я добавлю краткую фразу, чтобы указать область определения, и прослежу за правильным оформлением шагов.
Краткий ответ будет таким: \(x\in[-5;-1]\cup(1;2)\).
Я чётко распишу шаги, включая критические значения множителей. Таблица знаков поможет показать интервалы и соответствующие знаки.
Уточнение вопроса
Я вижу, что утверждение «Объясни, почему точки 1 и 2 не входят» ведёт к более глубокому вопросу. Кажется, всё в порядке, поскольку ответ ясно указывает, что нужно выразить. Думаю, мне нужно завершить это одной итоговой строкой, которая хорошо всё суммирует. Давайте найдём эффективный способ сформулировать последнюю часть!
Краткий ответ: \[ \boxed{x\in[-5;-1]\cup(1;2)} \]
Решаем неравенство: \[ \frac{(x+1)(x+5)}{(x-2)(x-1)}\le 0. \]
1. Находим критические точки
Нули числителя: \[ x+1=0\Rightarrow x=-1,\qquad x+5=0\Rightarrow x=-5. \]
Нули знаменателя: \[ x-2=0\Rightarrow x=2,\qquad x-1=0\Rightarrow x=1. \]
Точки \(x=1\) и \(x=2\) исключаются из области определения.
2. Расставляем точки на числовой прямой
\[ -5,\quad -1,\quad 1,\quad 2. \]
Знаки выражения на промежутках:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty;-5)&(-5;-1)&(-1;1)&(1;2)&(2;+\infty)\\ \hline \text{знак}&+&-&+&-&+ \end{array} \]
Нужно выбрать промежутки, где выражение меньше или равно нулю: это промежутки со знаком «−», а также нули числителя \(-5\) и \(-1\).
Поэтому: \[ \boxed{x\in[-5;-1]\cup(1;2)}. \]
Проверка: значения \(-5\) и \(-1\) входят, потому что обращают числитель в ноль; значения \(1\) и \(2\) не входят, потому что обращают знаменатель в ноль.
