Реши

Краткий ответ:

1. Такого положения точки \(C\) быть не может: \(AC=7\text{ см}>AB=5\text{ см}\).
2. \(AK=12\text{ см}\), \(BK=9\text{ см}\).
3. \(AB=40\text{ см}\).

1. Проверка условия

Так как точка \(C\) лежит на отрезке \(AB\), должно выполняться:

\[ AC+CB=AB. \]

Тогда:

\[ 7+CB=5, \qquad CB=5-7=-2\text{ см}. \]

Отрицательной длины быть не может, значит, условие противоречиво: точка \(C\) не может лежать на отрезке \(AB\) при таких данных.

2. Нахождение \(AK\) и \(BK\)

Пусть

\[ \frac14 AK=\frac13 BK. \]

Умножим равенство на \(12\):

\[ 3AK=4BK. \]

Значит, длины относятся как

\[ AK:BK=4:3. \]

Всего \(4+3=7\) частей, одна часть равна:

\[ 21:7=3\text{ см}. \]

Следовательно:

\[ AK=4\cdot3=12\text{ см}, \qquad BK=3\cdot3=9\text{ см}. \]

Проверка:

\[ 12+9=21\text{ см}. \]

3. Расстояние между серединами

Обозначим середины отрезков \(AP\) и \(PB\) через \(M\) и \(N\).

Тогда:

\[ MN=\frac{AP}{2}+\frac{PB}{2} =\frac{AP+PB}{2} =\frac{AB}{2}. \]

По условию \(MN=20\text{ см}\), значит:

\[ \frac{AB}{2}=20, \qquad AB=40\text{ см}. \]