Дай ответ с решением
Краткие ответы:
- \(x=-1\)
- \(x=4\)
- \(x=10\)
- \(x=4\)
- \(x=\dfrac{35}{4}\)
- \(x=\dfrac{25}{2}\)
- \(x=8\)
- \(x=0\)
- \(x=4\)
- \(x=3\)
- \(x=-2\)
- \(x=-\dfrac15\)
Решение
Основной принцип: привести обе части к одной и той же основе и приравнять показатели.
1. \[ 2^{4-2x}=64=2^6 \] \[ 4-2x=6,\qquad -2x=2,\qquad \boxed{x=-1} \]
Проверка: \[ 2^{4-2(-1)}=2^6=64. \]
2. \[ 5^{x-7}=\frac1{125}=5^{-3} \] \[ x-7=-3,\qquad \boxed{x=4} \]
3. \[ \left(\frac13\right)^{x-8}=\frac19=\left(\frac13\right)^2 \] \[ x-8=2,\qquad \boxed{x=10} \]
4. \[ \left(\frac12\right)^{6-2x}=4=\left(\frac12\right)^{-2} \] \[ 6-2x=-2,\qquad -2x=-8,\qquad \boxed{x=4} \]
5. \[ 16^{x-9}=\frac12 \] Так как \(16=2^4\), а \(\dfrac12=2^{-1}\), получаем: \[ 2^{4(x-9)}=2^{-1} \] \[ 4x-36=-1,\qquad 4x=35,\qquad \boxed{x=\frac{35}{4}} \]
Проверка: \[ x-9=-\frac14,\qquad 16^{-1/4}=\frac12. \]
6. \[ \left(\frac19\right)^{x-13}=3 \] \[ \frac19=3^{-2},\qquad 3=3^1 \] \[ -2(x-13)=1 \] \[ -2x+26=1,\qquad \boxed{x=\frac{25}{2}} \]
7. \[ 9^{-5+x}=729=9^3 \] \[ -5+x=3,\qquad \boxed{x=8} \]
8. \[ \left(\frac18\right)^{-3+x}=512 \] \[ 512=\left(\frac18\right)^{-3} \] \[ -3+x=-3,\qquad \boxed{x=0} \]
9. \[ \left(\frac12\right)^{x-8}=2^x \] \[ 2^{-(x-8)}=2^x \] \[ 2^{8-x}=2^x \] \[ 8-x=x,\qquad \boxed{x=4} \]
Проверка: \[ \left(\frac12\right)^{-4}=16=2^4. \]
10. \[ 8^{9-x}=64^x \] \[ 8=2^3,\qquad 64=2^6 \] \[ 2^{3(9-x)}=2^{6x} \] \[ 27-3x=6x,\qquad 9x=27,\qquad \boxed{x=3} \]
11. \[ 2^{3+x}=0{,}4\cdot5^{3+x} \] Пусть \(t=3+x\). Так как \(0{,}4=\dfrac25\), то \[ 2^t=\frac25\cdot5^t \] Делим на \(5^t\): \[ \left(\frac25\right)^t=\frac25=\left(\frac25\right)^1 \] \[ t=1,\qquad 3+x=1,\qquad \boxed{x=-2} \]
12. Для уравнения внизу изображения: \[ 7^{18{,}5x+0{,}7}=\frac1{343}=7^{-3} \] \[ 18{,}5x+0{,}7=-3 \] \[ 18{,}5x=-3{,}7,\qquad \boxed{x=-0{,}2=-\frac15} \]
Обсуждение
2 сообщенияЭто продолжение текущей учебной цели: на изображении следующий блок показательных уравнений того же типа.
14.
\[ \left(\frac16\right)^{6-2x}=36 \] \[ 36=6^2=\left(\frac16\right)^{-2} \] \[ 6-2x=-2 \Rightarrow x=4. \]
15.
\[ \left(\frac1{25}\right)^{x+2}=5^{x+5} \] \[ 5^{-2(x+2)}=5^{x+5} \] \[ -2x-4=x+5 \Rightarrow -3x=9 \Rightarrow x=-3. \]
16.
\[ 6^{12{,}5x+2}=\frac1{216}=6^{-3} \] \[ 12{,}5x+2=-3 \] \[ 12{,}5x=-5 \Rightarrow x=-0{,}4=-\frac25. \]
17.
\[ 3\cdot9^{x-1}=\frac1{27} \] \[ 3\cdot(3^2)^{x-1}=3^{-3} \] \[ 3^{2x-1}=3^{-3} \] \[ 2x-1=-3 \Rightarrow x=-1. \]
18.
\[ 6^{x+1}-6^x=180 \] \[ 6^x(6-1)=180 \] \[ 5\cdot6^x=180 \Rightarrow 6^x=36=6^2 \] \[ x=2. \]
19.
\[ 8\left(\frac12\right)^{2-x}=4^x \] \[ 2^3\cdot2^{x-2}=2^{2x} \] \[ 2^{x+1}=2^{2x} \] \[ x+1=2x \Rightarrow x=1. \]
Ответы: \[ \boxed{x_{14}=4,\quad x_{15}=-3,\quad x_{16}=-\frac25,\quad x_{17}=-1,\quad x_{18}=2,\quad x_{19}=1.} \]
