Реши номер 377

Краткий ответ:

• \(MQ=NP=8\) см;
• \(MN=PQ=6\) см;
• \(\angle M=\angle P=60^\circ\);
• \(\angle N=\angle Q=120^\circ\).

Решение:

1. Так как точка \(H\) лежит на стороне \(MQ\),

\[ MQ=MH+HQ=3+5=8\text{ см}. \]

Следовательно, \(NP=MQ=8\) см.

2. \(NH\perp MQ\), поэтому \(\triangle MNH\) — прямоугольный, причём

\[ \angle MHN=90^\circ,\qquad \angle MNH=30^\circ. \]

В прямоугольном треугольнике напротив угла \(30^\circ\) лежит катет, равный половине гипотенузы:

\[ MH=\frac{MN}{2}. \]

Значит,

\[ MN=2\cdot 3=6\text{ см}. \]

Следовательно, \(PQ=MN=6\) см.

3. Найдём угол при \(M\):

\[ \angle NMH=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ. \]

Так как лучи \(MH\) и \(MQ\) совпадают, то

\[ \angle M=\angle NMQ=60^\circ. \]

В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние — в сумме \(180^\circ\):

\[ \angle P=60^\circ,\qquad \angle N=\angle Q=180^\circ-60^\circ=120^\circ. \]

Проверка: стороны параллелограмма получились \(6\) см и \(8\) см, как и требуется по условию.