Реши

Краткий ответ

1. \(AC=5\) см.
2. \(AK=12\) см, \(BK=24\) см.
3. Расстояние между серединами — \(20\) см.
4. \(BM\):
   а) \(2\) см; б) \(2{,}4\) см; в) \(5\) см; г) \(\dfrac{24}{7}\) см; д) \(4\) см.

Решение

1

Так как точка \(C\) лежит на отрезке \(AB\),

\[ AC+CB=AB. \]

Тогда

\[ AC=AB-BC=9-4=5\text{ см}. \]

Проверка: \(5+4=9\).

---

2

Пусть \(AK=x\), тогда по условию

\[ \frac12 AK=\frac14 BK. \]

Умножим на \(4\):

\[ 2AK=BK. \]

Значит, \(BK=2x\). Так как

\[ AK+BK=AB, \]

получаем:

\[ x+2x=36, \]

\[ 3x=36,\qquad x=12. \]

Следовательно,

\[ AK=12\text{ см},\qquad BK=24\text{ см}. \]

Проверка: \(\frac12\cdot12=6\), \(\frac14\cdot24=6\).

---

3

Середина отрезка \(AP\) находится на расстоянии \(\dfrac{AP}{2}\) от точки \(A\), а середина \(PB\) — на расстоянии \(\dfrac{PB}{2}\) от точки \(P\).

Расстояние между серединами равно

\[ \frac{AP}{2}+\frac{PB}{2} =\frac{AP+PB}{2} =\frac{AB}{2}. \]

Тогда

\[ \frac{40}{2}=20\text{ см}. \]

---

4

Во всех пунктах используем:

\[ AM+BM=AB=6\text{ см}. \]

а) \(AM=2BM\).

Пусть \(BM=x\), тогда \(AM=2x\):

\[ 2x+x=6,\qquad 3x=6,\qquad BM=2\text{ см}. \]

б) \(2AM=3BM\).

Пусть \(BM=x\). Тогда \(AM=\dfrac32x\):

\[ \frac32x+x=6, \]

\[ \frac52x=6,\qquad x=\frac{12}{5}=2{,}4. \]

\[ BM=2{,}4\text{ см}. \]

в) \(AM:BM=1:5\).

Всего \(1+5=6\) частей, поэтому

\[ BM=\frac56\cdot6=5\text{ см}. \]

г) \(AM:BM=3:4\).

Всего \(3+4=7\) частей:

\[ BM=\frac47\cdot6=\frac{24}{7}\text{ см}. \]

д) \(AM-BM=2\).

Пусть \(BM=x\), тогда \(AM=x+2\):

\[ x+(x+2)=6, \]

\[ 2x=4,\qquad BM=2\text{ см}. \]

Исправление: здесь из условия \(AM-BM=2\), поэтому \(AM=BM+2\). Значит,

\[ BM+(BM+2)=6, \]

\[ 2BM=4,\qquad \boxed{BM=2\text{ см}}. \]

е) \(2BM+3AM=14\).

Пусть \(BM=x\), тогда \(AM=6-x\):

\[ 2x+3(6-x)=14, \]

\[ 2x+18-3x=14, \]

\[ x=4. \]

\[ BM=4\text{ см}. \]