Реши задание на изображении

Краткий ответ

Задача 1: \[ \boxed{36} \]

Задача 2: \[ \boxed{x=1,\quad y=2,\quad z=-2} \]

Задача 3: \[ \boxed{\begin{pmatrix}82&29\\58&111\end{pmatrix}} \]

Задача 1

\[ \begin{vmatrix} 5&1&-1\\ 0&2&4\\ 1&-1&1 \end{vmatrix} \]

Раскладываем по первой строке:

\[ 5 \begin{vmatrix} 2&4\\ -1&1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 0&4\\ 1&1 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 0&2\\ 1&-1 \end{vmatrix} \]

\[ =5(2+4)-(0-4)+(-1)(0-2) \]

\[ =30+4+2=\boxed{36}. \]

Задача 2. Метод Крамера

Система:

\[ \begin{cases} x+y+z=1,\\ x-y+2z=-5,\\ 4x+y+4z=-2. \end{cases} \]

Главный определитель:

\[ D= \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&2\\ 4&1&4 \end{vmatrix} =3. \]

Так как \(D\neq0\), система имеет единственное решение.

Заменяем поочерёдно столбцы коэффициентов столбцом свободных членов:

\[ D_x= \begin{vmatrix} 1&1&1\\ -5&-1&2\\ -2&1&4 \end{vmatrix} =3, \]

\[ D_y= \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-5&2\\ 4&-2&4 \end{vmatrix} =6, \]

\[ D_z= \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&-5\\ 4&1&-2 \end{vmatrix} =-6. \]

По формулам Крамера:

\[ x=\frac{D_x}{D}=\frac{3}{3}=1, \]

\[ y=\frac{D_y}{D}=\frac{6}{3}=2, \]

\[ z=\frac{D_z}{D}=\frac{-6}{3}=-2. \]

Проверка:

\[ 1+2-2=1, \]

\[ 1-2+2(-2)=-5, \]

\[ 4\cdot1+2+4(-2)=-2. \]

Все равенства верны, поэтому

\[ \boxed{(x,y,z)=(1,2,-2)}. \]

Задача 3

\[ (2\ -5\ 4) \begin{pmatrix} 3\\1\\7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&1\\ 2&4 \end{pmatrix}-5E \]

Сначала перемножим строку и столбец:

\[ (2\ -5\ 4) \begin{pmatrix} 3\\1\\7 \end{pmatrix} =2\cdot3-5\cdot1+4\cdot7 =6-5+28=29. \]

Тогда:

\[ 29 \begin{pmatrix} 3&1\\ 2&4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 87&29\\ 58&116 \end{pmatrix}. \]

Единичная матрица второго порядка:

\[ E= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}, \qquad 5E= \begin{pmatrix} 5&0\\ 0&5 \end{pmatrix}. \]

Вычитаем:

\[ \begin{pmatrix} 87&29\\ 58&116 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5&0\\ 0&5 \end{pmatrix} = \boxed{ \begin{pmatrix} 82&29\\ 58&111 \end{pmatrix} }. \]