Решить всё

Решаю задания 1–15, которые читаются на фото, в действительных числах.

Краткие ответы

1. \(x\in\{-3;0\}\)
2. \(x\in\{-1;0;1\}\)
3. \(x\in\{-1;1\}\)
4. \(x=1\)
5. \(x\in\{-2;2\}\)
6. \(x\in\{-2;-1;0;2\}\)
7. \(x\in\{-2;1\}\)
8. \(x\in\{-2;-1;1\}\)
9. \(x\in[-\sqrt2;-\tfrac12]\cup[\tfrac12;\sqrt2]\)
10. \(x\in[-2;1]\)
11. \(x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty)\)
12. \(x\in(-5;-2]\cup[2;+\infty)\)
13. \(x\in(-\infty;-7)\cup(-3;1)\)
14. \(x\in(-8;0)\)
15. \(x\in(-5;-3]\cup(1;+\infty)\)

Решение

1–8. Уравнения

1)
\[ x^3+3x^2=x^2(x+3)=0. \] Отсюда \[ x=0\quad\text{или}\quad x=-3. \]

2)
\[ x^5-x=x(x^4-1)=x(x-1)(x+1)(x^2+1). \] Так как \(x^2+1>0\), получаем: \[ x=-1,\;0,\;1. \]

3)
Группируем слагаемые: \[ x^3-x^2-x+1=x^2(x-1)-(x-1) \] \[ =(x-1)(x^2-1)=(x-1)^2(x+1). \] Следовательно, \[ x=1\quad\text{или}\quad x=-1. \]

4)
\[ x^3-x^2+x-1=x^2(x-1)+(x-1) \] \[ =(x-1)(x^2+1). \] Уравнение \(x^2+1=0\) не имеет действительных корней, поэтому \[ x=1. \]

5)
\[ x^4-16=(x^2-4)(x^2+4). \] Множитель \(x^2+4\) положителен, значит: \[ x^2-4=0,\qquad x=\pm2. \]

6)
\[ x^4+x^3-4x^2-4x =x(x+1)(x^2-4) \] \[ =x(x+1)(x-2)(x+2). \] Отсюда \[ x=-2,\;-1,\;0,\;2. \]

7)
Используем разность квадратов: \[ x^4-(x-2)^2=(x^2-x+2)(x^2+x-2). \] Первый множитель не имеет действительных корней, так как его дискриминант равен \(-7\). Второй: \[ x^2+x-2=(x+2)(x-1). \] Следовательно, \[ x=-2\quad\text{или}\quad x=1. \]

8)
\[ x^3+2x^2-x-2=x^2(x+2)-(x+2) \] \[ =(x+2)(x^2-1)=(x+2)(x-1)(x+1). \] Отсюда \[ x=-2,\;-1,\;1. \]

9–11. Обычные неравенства

9)
Положим \(t=x^2\), тогда \(t\ge0\): \[ 4t^2-9t+2\le0. \] Разложим: \[ (4t-1)(t-2)\le0. \] Значит, \[ \frac14\le t\le2. \] Возвращаемся к \(x\): \[ \frac14\le x^2\le2, \] поэтому \[ x\in[-\sqrt2;-\tfrac12]\cup[\tfrac12;\sqrt2]. \]

10)
\[ 2-x^2-x\ge0 \iff x^2+x-2\le0. \] \[ (x+2)(x-1)\le0. \] Произведение неположительно между корнями: \[ x\in[-2;1]. \]

11)
\[ x^2-5x+6>0 \] \[ (x-2)(x-3)>0. \] Произведение положительно вне промежутка между корнями: \[ x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty). \]

12–15. Дробные неравенства

В дробных неравенствах отдельно отмечаем нули числителя и знаменателя. Нули знаменателя всегда исключаются.

12)
\[ \frac{x^2-4}{x+5}\ge0 \iff \frac{(x-2)(x+2)}{x+5}\ge0. \] Критические точки: \(-5,-2,2\). Знак выражения:

\[ \begin{array}{c|cccc} x&(-\infty;-5)&(-5;-2)&(-2;2)&(2;+\infty)\\ \hline \text{знак}&-&+&-&+ \end{array} \]

Точки \(-2\) и \(2\) включаются, а \(-5\) исключается: \[ x\in(-5;-2]\cup[2;+\infty). \]

13)
\[ \frac{x^2+2x-3}{x+7}<0 = \frac{(x+3)(x-1)}{x+7}<0. \] Критические точки: \(-7,-3,1\). Отрицательный знак получается на промежутках \[ (-\infty;-7)\quad\text{и}\quad(-3;1). \] Так как неравенство строгое, точки \(-3\) и \(1\) не включаются: \[ x\in(-\infty;-7)\cup(-3;1). \]

14)
\[ \frac{x^2-4x}{x^2+4x-32}<0. \] Разложим: \[ \frac{x(x-4)}{(x-4)(x+8)}<0. \] Область определения: \[ x\ne4,\qquad x\ne-8. \] При \(x\ne4\): \[ \frac{x}{x+8}<0. \] Дробь отрицательна между точками \(-8\) и \(0\): \[ x\in(-8;0). \]

15)
\[ \frac{x+3}{x^2+4x-5}\ge0 = \frac{x+3}{(x+5)(x-1)}\ge0. \] Критические точки: \(-5,-3,1\). Знак «плюс» получается на \[ (-5;-3]\quad\text{и}\quad(1;+\infty). \] Точка \(-3\) включается, а \(-5\) и \(1\) исключаются, потому что обращают знаменатель в ноль.

Проверка выполнена по разложениям на множители и смене знаков на промежутках.

Покажи таблицу знаков для дробных неравенств