Реши производную

Краткий ответ:

\[ \boxed{f'(x)=1-4x^3-\frac{7}{x^2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}},\qquad x>0. \]

Дано:

\[ f(x)=\frac{7}{x}+x-x^4-\sqrt{x}. \]

Представим дробь и корень как степени:

\[ f(x)=7x^{-1}+x-x^4-x^{\frac12}. \]

Используем правило:

\[ (x^n)'=nx^{n-1}. \]

Тогда:

\[ \begin{aligned} f'(x) &=7\cdot(-1)x^{-2}+1-4x^3-\frac12x^{-\frac12}\\ &=-\frac{7}{x^2}+1-4x^3-\frac{1}{2\sqrt{x}}. \end{aligned} \]

Проверка по отдельным слагаемым:

\[ \left(\frac7x\right)'=-\frac7{x^2},\quad (x)'=1,\quad (-x^4)'=-4x^3,\quad (-\sqrt{x})'=-\frac1{2\sqrt{x}}. \]