ответы

Краткий ответ

Вариант 1:

1. \(8\); 2) \(9\); 3) \(\frac14\); 4) \(2\); 5) \(3\).

Вариант 2:

1. \(6\); 2) \(10\); 3) \(\frac18\); 4) \(2\); 5) \(3\).

Основные свойства

\[ \log_a b=x \Longleftrightarrow a^x=b \]

\[ \log_a(x^n)=n\log_a x,\qquad \log_a x+\log_a y=\log_a(xy) \]

\[ \log_a b\cdot\log_b a=1. \]

Вариант 1

1. Пусть \(\log_{\sqrt3}81=x\). Тогда:

\[ (\sqrt3)^x=81 \]

\[ (3^{1/2})^x=3^4 \Rightarrow \frac{x}{2}=4 \]

\[ x=8. \]

2. Так как \(64=4^3\):

\[ \log_4 64^3=\log_4(4^3)^3=\log_4 4^9=9. \]

3. Так как \(49=7^2\), а \(\sqrt7=7^{1/2}\):

\[ \log_{49}\sqrt7=\log_{7^2}7^{1/2} =\frac{\frac12}{2}=\frac14. \]

4. Объединяем логарифмы с одинаковым основанием:

\[ \log_{14}7+\log_{14}28 =\log_{14}(7\cdot28) =\log_{14}196. \]

Поскольку \(196=14^2\), получаем:

\[ \log_{14}196=2. \]

5. Представим \(216\) как \(6^3\):

\[ \log_{13}216\cdot\log_6 13 =\log_{13}(6^3)\cdot\log_6 13 \]

\[ =3\log_{13}6\cdot\log_6 13=3. \]

Вариант 2

1. Пусть \(\log_{\sqrt5}125=x\). Тогда:

\[ (\sqrt5)^x=125 \]

\[ (5^{1/2})^x=5^3 \Rightarrow \frac{x}{2}=3 \Rightarrow x=6. \]

2. Так как \(36=6^2\):

\[ \log_6 36^5=\log_6(6^2)^5 =\log_6 6^{10}=10. \]

3. Так как \(81=3^4\), а \(\sqrt3=3^{1/2}\):

\[ \log_{81}\sqrt3 =\log_{3^4}3^{1/2} =\frac{\frac12}{4} =\frac18. \]

\[ \log_{18}9+\log_{18}36 =\log_{18}(9\cdot36) =\log_{18}324. \]

Поскольку \(324=18^2\):

\[ \log_{18}324=2. \]

5. Представим \(343\) как \(7^3\):

\[ \log_{11}343\cdot\log_7 11 =\log_{11}(7^3)\cdot\log_7 11 \]

\[ =3\log_{11}7\cdot\log_7 11=3. \]

Проверка: подстановка найденных степеней даёт исходные числа, например \((\sqrt3)^8=81\), \((\sqrt5)^6=125\).