Решать все. То написано оранжевым
Краткий ответ
№ 1
- \(a=8\text{ см},\ b=18\text{ см},\ \gamma=60^\circ\):
\[ c=2\sqrt{61}\text{ см}\approx15{,}62\text{ см}, \qquad S=36\sqrt3\text{ см}^2\approx62{,}35\text{ см}^2. \]
- \(a=7\text{ см},\ b=12\text{ см},\ \gamma=60^\circ\):
\[ c=\sqrt{109}\text{ см}\approx10{,}44\text{ см}, \qquad S=21\sqrt3\text{ см}^2\approx36{,}37\text{ см}^2. \]
№ 2
Считаем, что указанный угол \(\gamma\) — угол между сторонами \(a\) и \(b\).
- \(a=8,\ b=5,\ \gamma=65^\circ\):
\[ c\approx7{,}43,\qquad \alpha\approx77{,}41^\circ,\qquad \beta\approx37{,}59^\circ. \]
- \(a=9,\ b=8,\ \gamma=56^\circ\):
\[ c\approx8{,}03,\qquad \alpha\approx68{,}31^\circ,\qquad \beta\approx55{,}69^\circ. \]
Решение
№ 1
Если известны две стороны и угол между ними, применяем:
\[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma, \]
\[ S=\frac12ab\sin\gamma. \]
Так как
\[ \cos60^\circ=\frac12,\qquad \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}, \]
получаем.
1) \(a=8,\ b=18\)
\[ c^2=8^2+18^2-2\cdot8\cdot18\cdot\frac12 \]
\[ c^2=64+324-144=244, \]
\[ c=\sqrt{244}=2\sqrt{61}\approx15{,}62\text{ см}. \]
Площадь:
\[ S=\frac12\cdot8\cdot18\cdot\frac{\sqrt3}{2} =36\sqrt3\approx62{,}35\text{ см}^2. \]
2) \(a=7,\ b=12\)
\[ c^2=7^2+12^2-2\cdot7\cdot12\cdot\frac12 \]
\[ c^2=49+144-84=109, \]
\[ c=\sqrt{109}\approx10{,}44\text{ см}. \]
Площадь:
\[ S=\frac12\cdot7\cdot12\cdot\frac{\sqrt3}{2} =21\sqrt3\approx36{,}37\text{ см}^2. \]
№ 2
Сначала находим третью сторону по теореме косинусов:
\[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma. \]
Затем находим угол \(\alpha\):
\[ \cos\alpha= \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}, \]
а третий угол:
\[ \beta=180^\circ-\alpha-\gamma. \]
1) \(a=8,\ b=5,\ \gamma=65^\circ\)
\[ c^2=8^2+5^2-2\cdot8\cdot5\cos65^\circ, \]
\[ c\approx7{,}43. \]
\[ \alpha= \arccos\frac{5^2+7{,}43^2-8^2}{2\cdot5\cdot7{,}43} \approx77{,}41^\circ. \]
\[ \beta=180^\circ-77{,}41^\circ-65^\circ \approx37{,}59^\circ. \]
Проверка:
\[ 77{,}41^\circ+37{,}59^\circ+65^\circ=180^\circ. \]
2) \(a=9,\ b=8,\ \gamma=56^\circ\)
\[ c^2=9^2+8^2-2\cdot9\cdot8\cos56^\circ, \]
\[ c\approx8{,}03. \]
\[ \alpha= \arccos\frac{8^2+8{,}03^2-9^2}{2\cdot8\cdot8{,}03} \approx68{,}31^\circ. \]
\[ \beta=180^\circ-68{,}31^\circ-56^\circ \approx55{,}69^\circ. \]
Проверка:
\[ 68{,}31^\circ+55{,}69^\circ+56^\circ=180^\circ. \]
Обсуждение
2 сообщенияС чертежом
Да, вот все пункты с условными чертежами. Чертежи выполнены не в масштабе.
Обозначения:
- \(AC=b\);
- \(BC=a\);
- \(AB=c\);
- \(\angle C=\gamma\).
№ 1
Используем формулы:
\[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma, \]
\[ S=\frac12ab\sin\gamma. \]
1) \(a=8\text{ см},\ b=18\text{ см},\ \gamma=60^\circ\)
C
60°
/ \
b=18 a=8
/ \
A---------B
c=?
Находим третью сторону:
\[ c^2=8^2+18^2-2\cdot8\cdot18\cos60^\circ \]
\[ c^2=64+324-144=244, \]
\[ \boxed{c=2\sqrt{61}\text{ см}\approx15{,}62\text{ см}}. \]
Площадь:
\[ S=\frac12\cdot8\cdot18\cdot\sin60^\circ \]
\[ S=72\cdot\frac{\sqrt3}{2} =36\sqrt3. \]
\[ \boxed{S=36\sqrt3\text{ см}^2\approx62{,}35\text{ см}^2}. \]
2) \(a=7\text{ см},\ b=12\text{ см},\ \gamma=60^\circ\)
C
60°
/ \
b=12 a=7
/ \
A---------B
c=?
\[ c^2=7^2+12^2-2\cdot7\cdot12\cos60^\circ \]
\[ c^2=49+144-84=109, \]
\[ \boxed{c=\sqrt{109}\text{ см}\approx10{,}44\text{ см}}. \]
Площадь:
\[ S=\frac12\cdot7\cdot12\cdot\sin60^\circ \]
\[ S=42\cdot\frac{\sqrt3}{4} =21\sqrt3. \]
\[ \boxed{S=21\sqrt3\text{ см}^2\approx36{,}37\text{ см}^2}. \]
№ 2
Сначала находим сторону \(c\):
\[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma. \]
Затем:
\[ \cos\alpha= \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}, \]
\[ \beta=180^\circ-\alpha-\gamma. \]
1) \(a=8,\ b=5,\ \gamma=65^\circ\)
C
65°
/ \
b=5 a=8
/ \
A---------B
α=? c=? β=?
\[ c^2=8^2+5^2-2\cdot8\cdot5\cos65^\circ \]
\[ c\approx7{,}43. \]
\[ \alpha\approx77{,}41^\circ, \]
\[ \beta=180^\circ-77{,}41^\circ-65^\circ \approx37{,}59^\circ. \]
Ответ:
\[ \boxed{c\approx7{,}43,\quad \alpha\approx77{,}41^\circ,\quad \beta\approx37{,}59^\circ}. \]
2) \(a=9,\ b=8,\ \gamma=56^\circ\)
C
56°
/ \
b=8 a=9
/ \
A---------B
α=? c=? β=?
\[ c^2=9^2+8^2-2\cdot9\cdot8\cos56^\circ \]
\[ c\approx8{,}03. \]
\[ \alpha\approx68{,}31^\circ, \]
\[ \beta=180^\circ-68{,}31^\circ-56^\circ \approx55{,}69^\circ. \]
Ответ:
\[ \boxed{c\approx8{,}03,\quad \alpha\approx68{,}31^\circ,\quad \beta\approx55{,}69^\circ}. \]
Проверка:
\[ 68{,}31^\circ+55{,}69^\circ+56^\circ=180^\circ. \]
