Реши задание на изображении

Проверка неравенства

Я работаю с неравенством \((x-3)^2(x-1)x^2(x+2)\le 0\). Квадраты всегда неотрицательны, поэтому корнями являются x=3 (кратность 2), x=0 (кратность 2), и мне нужно проверить знак с помощью \( (x-1)(x+2) \). Произведение меньше либо равно нулю при \(x \in [-2, 1]\), а также включает нули при x=0 и x=3. Поэтому мой вывод: \([-2, 1] \cup \{3\}\).

Решение неравенства

Я работаю с неравенством \((x^2 - 7x + 12)(x^2 - 4) \geq 0\). Я нашёл корни -2, 2, 3 и 4. Мне нужно проанализировать знак выражения на различных интервалах. Я определил, что оно положительно на \((-∞, -2]\), \([2, 3]\) и \([4, ∞)\). Я также определил критические интервалы для случаев «меньше либо равно нулю» и «больше либо равно нулю», исключив \(x = 4\) из области определения.

Анализ математических случаев

Я определяю, соответствует ли выражение \(\frac{(x+2)^2(x-3)(x-5)}{(x-4)^2}\) двум случаям: \(a)\le0\) и \(b)\ge0\). Я хочу, чтобы мой ответ был как можно более кратким и включал необходимые разложения на множители. Возникает вопрос, может ли третьим множителем в числителе быть \((x+2)^2(x-3)(x-6)\) вместо этого. Судя по изображению, можно сделать выводы о правильных корнях, и наиболее вероятным множителем является \(x-5\). Знаменатель явно остаётся \((x - 4)^2\).