Реши задание на изображении
На изображении два задания, поэтому решим оба. Ниже указаны действительные корни.
Краткий ответ
222.
- а) \(x=\pm1,\ \pm2\);
- б) \(x=2\);
- в) \(x=-4,\ 3\).
224.
- а) \(x=\pm3,\ \pm4\);
- б) действительных корней нет;
- в) \(x=\pm\sqrt2\);
- г) \(t=\pm\sqrt3\);
- д) \(x=\pm2,\ \pm\dfrac{\sqrt2}{2}\);
- е) действительных корней нет.
Решение задания 222
а) \((x^2+3)^2-11(x^2+3)+28=0\)
Сделаем замену:
\[ u=x^2+3. \]
Получаем:
\[ u^2-11u+28=0, \]
\[ (u-4)(u-7)=0. \]
Отсюда:
\[ u=4 \quad \text{или} \quad u=7. \]
Возвращаемся к \(x\):
\[ x^2+3=4 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm1; \]
\[ x^2+3=7 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2. \]
\[ \boxed{x=\pm1,\ \pm2} \]
б) \((x^2-4x)^2+9(x^2-4x)+20=0\)
Пусть
\[ u=x^2-4x. \]
Тогда:
\[ u^2+9u+20=0, \]
\[ (u+4)(u+5)=0. \]
- \(u=-4\):
\[ x^2-4x=-4, \]
\[ x^2-4x+4=0, \]
\[ (x-2)^2=0 \Rightarrow x=2. \]
- \(u=-5\):
\[ x^2-4x=-5, \]
\[ x^2-4x+5=0. \]
Дискриминант:
\[ D=(-4)^2-4\cdot1\cdot5=-4<0. \]
Действительных корней нет.
\[ \boxed{x=2} \]
в) \((x^2+x)(x^2+x-5)=84\)
Пусть
\[ u=x^2+x. \]
Тогда:
\[ u(u-5)=84, \]
\[ u^2-5u-84=0, \]
\[ (u-12)(u+7)=0. \]
- \(u=12\):
\[ x^2+x=12, \]
\[ x^2+x-12=0, \]
\[ (x+4)(x-3)=0. \]
Отсюда \(x=-4\) или \(x=3\).
- \(u=-7\):
\[ x^2+x+7=0. \]
\[ D=1-28=-27<0, \]
действительных корней нет.
\[ \boxed{x=-4,\ 3} \]
Решение задания 224
Для биквадратных уравнений используем замену:
\[ z=x^2 \quad \text{или} \quad z=y^2,\ t^2. \]
Важно: \(z\ge 0\).
а) \(x^4-25x^2+144=0\)
\[ z^2-25z+144=0, \]
\[ (z-9)(z-16)=0. \]
\[ z=9 \Rightarrow x=\pm3; \qquad z=16 \Rightarrow x=\pm4. \]
\[ \boxed{x=\pm3,\ \pm4} \]
б) \(y^4+14y^2+48=0\)
\[ z^2+14z+48=0, \]
\[ (z+6)(z+8)=0. \]
Получаем \(z=-6\) или \(z=-8\), но \(z=y^2\ge0\).
\[ \boxed{\text{Действительных корней нет}} \]
в) \(x^4-4x^2+4=0\)
\[ z^2-4z+4=0, \]
\[ (z-2)^2=0. \]
\[ z=2 \Rightarrow x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt2. \]
\[ \boxed{x=\pm\sqrt2} \]
г) \(t^4-2t^2-3=0\)
\[ z^2-2z-3=0, \]
\[ (z-3)(z+1)=0. \]
\(z=3\) подходит, а \(z=-1\) — нет.
\[ t^2=3 \Rightarrow t=\pm\sqrt3. \]
\[ \boxed{t=\pm\sqrt3} \]
д) \(2x^4-9x^2+4=0\)
\[ 2z^2-9z+4=0. \]
\[ D=(-9)^2-4\cdot2\cdot4=49. \]
\[ z=\frac{9\pm7}{4}. \]
Отсюда:
\[ z=4 \quad \text{или} \quad z=\frac12. \]
\[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm2; \]
\[ x^2=\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{\sqrt2}{2}. \]
\[ \boxed{x=\pm2,\ \pm\frac{\sqrt2}{2}} \]
е) \(5y^4-5y^2+2=0\)
\[ 5z^2-5z+2=0. \]
\[ D=(-5)^2-4\cdot5\cdot2=25-40=-15<0. \]
\[ \boxed{\text{Действительных корней нет}} \]
Проверка: во всех пунктах замена сводит исходное уравнение к квадратному, а затем найденные значения \(x^2,\ y^2,\ t^2\) неотрицательны и возвращаются в исходные уравнения.
