Реши задание на изображении

Краткие ответы:

1. \(-42\sqrt3\)
2. \(-\dfrac{27\sqrt2}{4}\)
3. \(27\sqrt3\)
4. \(\dfrac{3-\sqrt2}{2}\)
5. \(1\)
6. \(2\sqrt3\)
7. \(2\)
8. \(0\)
9. \(-16\)
10. \(\dfrac{40}{49}\)
11. \(-\dfrac12\)
12. \(-\dfrac92\)
13. \(\dfrac{2+\sqrt3}{2}\)

Ключевые шаги

Используем значения:

\[ \sin\frac{\pi}{6}=\frac12,\quad \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\quad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}, \]

\[ \cos\frac{\pi}{3}=\frac12,\quad \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\quad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}. \]

1. \[ 42\sqrt6\cos\frac{3\pi}{4} =42\sqrt6\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right) =-42\sqrt3. \]

2. \[ \frac{9\sqrt6}{2}\cos\frac{5\pi}{6} =\frac{9\sqrt6}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right) =-\frac{27\sqrt2}{4}. \]

3. \[ 54\sqrt3\sin\frac{\pi}{6} =54\sqrt3\cdot\frac12=27\sqrt3. \]

4. \[ \sqrt2\sin\frac{\pi}{4}-\cos\frac{\pi}{4} +\sqrt3\cos\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{2} \] \[ =1-\frac{\sqrt2}{2}+\frac32-1 =\frac{3-\sqrt2}{2}. \]

5. \[ \sqrt3\sin\frac{\pi}{3}-\cos\frac{\pi}{3} +\sqrt2\cos\frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{2} \] \[ =\frac32-\frac12+1-1=1. \]

6. Так как котангенс имеет период \(\pi\),

\[ \operatorname{ctg}\frac{15\pi}{4} =\operatorname{ctg}\frac{3\pi}{4}=-1. \]

Поэтому

\[ -2\sqrt3\cdot(-1)=2\sqrt3. \]

7. \[ -\frac{13\pi}{4}+4\pi=\frac{3\pi}{4}, \]

\[ 2\sqrt2\sin\left(-\frac{13\pi}{4}\right) =2\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=2. \]

8. \[ 4\sin(-15\pi)=4\cdot0=0. \]

9. \[ 16\sqrt2\cos225^\circ =16\sqrt2\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-16. \]

10. \[ \left(-\frac37\right) \left(-\frac73-\left(-\frac37\right)\right) \] \[ =\left(-\frac37\right) \left(-\frac{49}{21}+\frac9{21}\right) =\left(-\frac37\right)\left(-\frac{40}{21}\right) =\frac{40}{49}. \]

11. Учитываем периодичность косинуса:

\[ \cos\left(-\frac{27\pi}{4}\right) =\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}, \]

\[ \cos\frac{31\pi}{4} =\cos\frac{7\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}. \]

Тогда

\[ -\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} =-\frac12. \]

12. \[ \frac{9\cos60^\circ}{\sin180^\circ+\cos180^\circ} =\frac{9\cdot\frac12}{0+(-1)} =-\frac92. \]

13. \[ 2\sin30^\circ+\cos30^\circ =2\cdot\frac12+\frac{\sqrt3}{2} =1+\frac{\sqrt3}{2} =\frac{2+\sqrt3}{2}. \]

Проверка: в заданиях 6–8 углы сведены к известным углам с помощью периодичности, а в задании 12 знаменатель равен \(-1\), поэтому деление допустимо.