17
Расчёт отношения объёмов на русском языке
Мне нужно дать ответ на русском языке относительно сравнения объёмов свинцового и алюминиевого тел с одинаковым количеством вещества. В задаче указаны конкретные молярные массы и плотности обоих материалов.
Я рассчитаю отношение их объёмов, используя формулу, связывающую массу, молярную массу, объём и плотность. Согласно моим расчётам, объём свинцового тела примерно в 1,83 раза больше объёма алюминиевого тела. Также следует проверить согласованность единиц и кратко обобщить основные шаги.
Расчёт отношений плотностей
Я рассматриваю отношения плотностей свинца и алюминия. Мои расчёты дают отношение 1,831858, что упрощается до \(207/113\), то есть примерно до 1,83. Я хочу убедиться, что сравниваю не только молярные массы, но и учитываю, что плотность играет важную роль. Здесь важно, что одинаковое количество вещества не означает одинаковую массу, поскольку молярные массы различаются. Я проверю результат, используя значения для одного моля свинца и алюминия, что хорошо согласуется с моими расчётами!
Краткий ответ: объём свинцового тела больше объёма алюминиевого примерно в \(1{,}83\) раза.
Пусть количество вещества в обоих телах равно \(n\). Тогда масса:
\[ m=nM, \]
а объём:
\[ V=\frac{m}{\rho}=\frac{nM}{\rho}. \]
Поэтому отношение объёмов:
\[ \frac{V_{\text{Pb}}}{V_{\text{Al}}} = \frac{M_{\text{Pb}}/\rho_{\text{Pb}}} {M_{\text{Al}}/\rho_{\text{Al}}}. \]
Подставим данные:
\[ \frac{V_{\text{Pb}}}{V_{\text{Al}}} = \frac{207\cdot10^{-3}\cdot2700} {27\cdot10^{-3}\cdot11300} = \frac{207}{113} \approx 1{,}83. \]
Ответ:
\[ \boxed{V_{\text{Pb}}\approx1{,}83V_{\text{Al}}}. \]
Главный принцип: при одинаковом количестве вещества объём зависит не только от молярной массы, но и от плотности:
\[ V=n\frac{M}{\rho}. \]
Обсуждение
11 сообщений21
21
Задача 28.21
Массу одной молекулы оценим по формуле:
\[ m=\rho V. \]
Считаем, что объём, приходящийся на одну молекулу, примерно равен кубу её диаметра:
\[ V\approx d^3=(3\cdot10^{-10})^3 =2{,}7\cdot10^{-29}\ \text{м}^3. \]
Тогда
\[ m\approx 9\cdot10^2\cdot2{,}7\cdot10^{-29} =2{,}43\cdot10^{-26}\ \text{кг}. \]
Ответ:
\[ \boxed{m\approx2{,}4\cdot10^{-26}\ \text{кг}}. \]
Задача 28.21
Дано:
\[ d=3\cdot10^{-10}\ \text{м},\qquad \rho=9\cdot10^2\ \text{кг/м}^3. \]
Для ориентировочной оценки объём молекулы примем равным:
\[ V_0\approx d^3. \]
Тогда масса молекулы:
\[ m_0=\rho V_0\approx \rho d^3. \]
Подставим значения:
\[ m_0\approx 9\cdot10^2\cdot(3\cdot10^{-10})^3 =9\cdot10^2\cdot27\cdot10^{-30} =2{,}43\cdot10^{-26}\ \text{кг}. \]
Ответ:
\[ \boxed{m_0\approx2{,}4\cdot10^{-26}\ \text{кг}}. \]
22
22
Задача 28.22
Дано:
\[ \rho=900\ \text{кг/м}^3,\qquad M=18\cdot10^{-3}\ \text{кг/моль}. \]
Объём, приходящийся на одну молекулу:
\[ V_0=\frac{M}{\rho N_A}, \]
где \(N_A=6{,}02\cdot10^{23}\ \text{моль}^{-1}\).
\[ V_0=\frac{18\cdot10^{-3}} {900\cdot6{,}02\cdot10^{23}} \approx3{,}3\cdot10^{-29}\ \text{м}^3. \]
Среднее расстояние между центрами соседних молекул оценим как ребро куба такого объёма:
\[ l\approx\sqrt[3]{V_0} =\sqrt[3]{3{,}3\cdot10^{-29}} \approx3{,}2\cdot10^{-10}\ \text{м}. \]
Ответ:
\[ \boxed{l\approx3{,}2\cdot10^{-10}\ \text{м}} \]
или примерно \(0{,}32\ \text{нм}\).
Задача 28.22
Дано:
\[ \rho=900\ \text{кг/м}^3,\qquad M=18\cdot10^{-3}\ \text{кг/моль}. \]
Число молекул в \(1\ \text{м}^3\):
\[ N=\frac{\rho N_A}{M}, \]
где \(N_A=6{,}02\cdot10^{23}\ \text{моль}^{-1}\).
Объём, приходящийся на одну молекулу:
\[ V_1=\frac{1}{N}=\frac{M}{\rho N_A}. \]
Среднее расстояние между центрами соседних молекул оценим как сторону куба такого объёма:
\[ l=\sqrt[3]{V_1} =\sqrt[3]{\frac{M}{\rho N_A}}. \]
Подставим значения:
\[ l=\sqrt[3]{\frac{18\cdot10^{-3}} {900\cdot6{,}02\cdot10^{23}}} \approx 3{,}2\cdot10^{-10}\ \text{м}. \]
Ответ:
\[ \boxed{l\approx3{,}2\cdot10^{-10}\ \text{м}} \]
или примерно \(0{,}32\ \text{нм}\).
24
23
Задача 28.23
Пусть \(x\) — доля молекул кислорода в воздухе. Тогда доля молекул азота равна \(1-x\).
Средняя молярная масса смеси:
\[ M_{\text{возд}}=xM_{\mathrm{O_2}}+(1-x)M_{\mathrm{N_2}}. \]
Подставим данные:
\[ 29\cdot10^{-3} =x\cdot32\cdot10^{-3}+(1-x)\cdot28\cdot10^{-3}. \]
Сократим на \(10^{-3}\):
\[ 29=32x+28-28x, \]
\[ 4x=1,\qquad x=0{,}25. \]
В процентах:
\[ 0{,}25\cdot100\%=25\%. \]
Ответ:
\[ \boxed{25\%} \]
молекул кислорода.
