реши
Пошаговое решение уравнений
Я решаю уравнение \(3x² + 6x + 4 = 49\), которое после переноса слагаемых принимает вид \(3x² + 6x - 45 = 0\). Деление на 3 даёт \(x² + 2x - 15 = 0\), а разложение на множители приводит к корням \(x = -5\) и \(x = 3\). Поскольку я ищу большее значение, это 3. В следующем задании с радикалами я замечаю \((x-4)²\) под квадратным корнем, что приводит к решениям \(x = 3\) и \(x = 5\). Приятно получать ясные ответы и иметь наготове последующие вопросы!
[[NEXT]] Объясни, как быстро находить ОДЗ в таких уравнениях.
Определение ОДЗ в уравнениях
Я понимаю, что для принципа \(ОДЗ\) (области допустимых значений) нужно убедиться, что всё под квадратным корнем неотрицательно, прежде чем возводить в квадрат, а затем выполнить проверку. Для задания 1 знаменатель должен быть положительным, в частности \(40 - 4x > 0\). В задании 2 требуется, чтобы \(-x \geq 0\), и в задании 3 аналогично, тогда как задание 4 кажется простым, поскольку подкоренное выражение \(3x² + 6x + 4 = 3(x+1)² + 1 > 0\) всегда положительно. В задании 5 я учитываю абсолютные значения.
[[NEXT]] Если уравнение имеет более одного корня, укажите...
Краткий ответ:
- \(x=-90\)
- \(x=-11\)
- \(x=-11\)
- \(x=3\)
- \(x=3\)
Задача 1
\[ \sqrt{\frac{1}{40-4x}}=0{,}05=\frac1{20} \]
Так как подкоренное выражение должно быть определено:
\[ 40-4x>0 \]
Возводим обе части в квадрат:
\[ \frac1{40-4x}=\frac1{400} \]
\[ 40-4x=400 \]
\[ -4x=360,\qquad x=-90 \]
Проверка:
\[ \sqrt{\frac1{40-4(-90)}}=\sqrt{\frac1{400}}=\frac1{20}=0{,}05 \]
Задача 2
\[ \sqrt{66-5x}=-x \]
Правая часть неотрицательна, поэтому \(x\le 0\). Возводим в квадрат:
\[ 66-5x=x^2 \]
\[ x^2+5x-66=0 \]
\[ (x+11)(x-6)=0 \]
\[ x=-11\quad\text{или}\quad x=6 \]
Условию \(x\le0\) подходит только:
\[ \boxed{x=-11} \]
Задача 3
\[ \sqrt{-88-19x}=-x \]
После возведения в квадрат:
\[ -88-19x=x^2 \]
\[ x^2+19x+88=0 \]
\[ (x+8)(x+11)=0 \]
\[ x=-8\quad\text{или}\quad x=-11 \]
Оба корня подходят:
\[ \sqrt{-88-19(-8)}=8,\qquad \sqrt{-88-19(-11)}=11 \]
Меньший корень:
\[ \boxed{x=-11} \]
Задача 4
\[ \sqrt{3x^2+6x+4}=7 \]
Возводим в квадрат:
\[ 3x^2+6x+4=49 \]
\[ 3x^2+6x-45=0 \]
Делим на \(3\):
\[ x^2+2x-15=0 \]
\[ (x+5)(x-3)=0 \]
\[ x=-5\quad\text{или}\quad x=3 \]
Больший корень:
\[ \boxed{x=3} \]
Задача 5
\[ \sqrt{x^2-8x+16}=1 \]
Подкоренное выражение — полный квадрат:
\[ x^2-8x+16=(x-4)^2 \]
Поэтому:
\[ \sqrt{(x-4)^2}=|x-4| \]
\[ |x-4|=1 \]
\[ x-4=1\quad\text{или}\quad x-4=-1 \]
\[ x=5\quad\text{или}\quad x=3 \]
Меньший корень:
\[ \boxed{x=3} \]
Главный принцип: перед возведением в квадрат нужно учитывать, что квадратный корень всегда неотрицателен, а после решения проверить полученные корни в исходном уравнении.
