Выберите верный ответ. Ребро куба MNPTM1N1P1T1 равно 1. Найдите котангенс угла между плоскостями MPT и MPT1. 2

Ответ: \(\boxed{\dfrac{\sqrt2}{2}}\).

Пусть координаты вершин куба:

\[ M(0,0,0),\quad N(1,0,0),\quad P(1,1,0),\quad T(0,1,0), \] \[ T_1(0,1,1). \]

Плоскость \(MPT\) — это основание куба, поэтому её нормаль:

\[ \vec n_1=(0,0,1). \]

Для плоскости \(MPT_1\) возьмём два направляющих вектора:

\[ \overrightarrow{MP}=(1,1,0),\qquad \overrightarrow{MT_1}=(0,1,1). \]

Их векторное произведение — нормаль к плоскости \(MPT_1\):

\[ \vec n_2=\overrightarrow{MP}\times\overrightarrow{MT_1} =(1,-1,1). \]

Угол между плоскостями равен острому углу между их нормалями:

\[ \cos\varphi= \frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|} {|\vec n_1||\vec n_2|} =\frac{1}{\sqrt3}. \]

Тогда

\[ \sin\varphi=\sqrt{1-\frac13}=\sqrt{\frac23}. \]

Следовательно,

\[ \cot\varphi= \frac{\cos\varphi}{\sin\varphi} = \frac{1/\sqrt3}{\sqrt{2/3}} = \frac1{\sqrt2} = \boxed{\frac{\sqrt2}{2}}. \]