Математическая задача. Решите уравнение: 2I6700-хI=Ix-4300I Задание: 1) Опишите теоретическую базу решения математической задачи (перечислить формулы, понятия, операции и т.п.) 2) Преобразуйте данную задачу в контекстную, обеспечивающую развитие функциональной грамотности обучающихся.
Краткий ответ: считаем, что символы \(I\ldots I\) обозначают модуль. Тогда
\[ 2|6700-x|=|x-4300|. \]
Корни уравнения:
\[ \boxed{x=5900 \text{ или } x=9100}. \]
Решение
Используем свойство:
\[ |a|=|b| \Longleftrightarrow a=b \quad\text{или}\quad a=-b. \]
Перепишем уравнение:
\[ |x-4300|=2|6700-x|=|2(6700-x)|. \]
Получаем два случая.
1-й случай:
\[ x-4300=2(6700-x), \]
\[ x-4300=13400-2x, \]
\[ 3x=17700, \]
\[ x=5900. \]
2-й случай:
\[ x-4300=-2(6700-x), \]
\[ x-4300=-13400+2x, \]
\[ x=9100. \]
Проверка
При \(x=5900\):
\[ 2|6700-5900|=2\cdot800=1600, \]
\[ |5900-4300|=1600. \]
При \(x=9100\):
\[ 2|6700-9100|=2\cdot2400=4800, \]
\[ |9100-4300|=4800. \]
Оба значения подходят.
1) Теоретическая база
Для решения использовались следующие понятия и свойства:
- Модуль числа:
\[ |a|= \begin{cases} a, & a\ge 0,\\ -a, & a<0. \end{cases} \]
Геометрический смысл модуля:
\(|x-a|\) — это расстояние между точками с координатами \(x\) и \(a\) на координатной прямой.Свойство модуля произведения:
\[ |ka|=|k|\cdot|a|. \]
В частности,
\[ 2|6700-x|=|2(6700-x)|. \]
- Равенство модулей:
\[ |A|=|B| \Longleftrightarrow A=B \text{ или } A=-B. \]
Линейные уравнения: раскрытие скобок, перенос слагаемых, приведение подобных, деление на коэффициент при неизвестном.
Проверка корней подстановкой в исходное уравнение.
Алгоритм решения подобных уравнений:
\[ |A(x)|=|B(x)| \]
заменяют двумя уравнениями:
\[ A(x)=B(x) \]
или
\[ A(x)=-B(x). \]
2) Контекстная задача
Условие
На прямом участке велодорожки начало отсчёта находится в точке \(0\) м. На дорожке есть отметки \(4300\) м и \(6700\) м. Нужно установить информационный стенд в точке с координатой \(x\), где \(0\le x\le10000\).
По условию расстояние от стенда до отметки \(4300\) м должно быть в два раза больше расстояния от стенда до отметки \(6700\) м.
На каких координатах можно установить стенд? Если стенд должен находиться между двумя отметками, какую координату выбрать?
Математическая модель
Расстояния до отметок равны:
\[ |x-4300| \quad\text{и}\quad |x-6700|. \]
По условию:
\[ |x-4300|=2|x-6700|. \]
Это то же уравнение, что и исходное, поскольку
\[ |6700-x|=|x-6700|. \]
Ответ
Возможные координаты:
\[ x=5900\text{ м} \quad\text{или}\quad x=9100\text{ м}. \]
Между отметками \(4300\) м и \(6700\) м находится только точка
\[ \boxed{5900\text{ м}}. \]
Такая формулировка развивает функциональную грамотность: ученик переводит жизненную ситуацию в математическую модель, учитывает ограничения, интерпретирует оба корня и выбирает подходящий вариант.
