Реши

Краткий ответ

1. а) \(x^{11}\); б) \(x^8\); в) \(x^3\); г) \(5^{11}\).

2. а) \(y^5\); б) \(b^1=b\); в) \(x^1=x\); г) \(a^0=1\).

3. а) \(c^8\); б) \(c^3\); в) \(c^7\); г) \(c^{19}\).

4. а) \(x^6\); б) \(x^{11}\); в) \(x^7\); г) \(x^{10}\).

5. а) \(512\); б) \(10000\); в) \(-8\); г) \(0{,}027\).

Основные правила

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \]

При делении показатели вычитаются:

\[ a^m:a^n=a^{m-n}. \]

Решение

1.

\[ \begin{aligned} \text{а)}\quad x^8\cdot x^3&=x^{8+3}=x^{11};\\ \text{б)}\quad x^4\cdot x^4&=x^{4+4}=x^8;\\ \text{в)}\quad x\cdot x^2&=x^1\cdot x^2=x^3;\\ \text{г)}\quad 5^7\cdot5^4&=5^{7+4}=5^{11}. \end{aligned} \]

2.

\[ \begin{aligned} \text{а)}\quad y^{10}:y^5&=y^{10-5}=y^5;\\ \text{б)}\quad b^7:b^6&=b^{7-6}=b^1=b;\\ \text{в)}\quad x^8:x^7&=x^{8-7}=x^1=x;\\ \text{г)}\quad a^9:a^9&=a^{9-9}=a^0=1. \end{aligned} \]

3. Пусть вместо звёздочки стоит \(c^n\).

\[ \begin{aligned} 1)\quad c^4\cdot c^n=c^{12}&\Rightarrow 4+n=12\Rightarrow n=8;\\ 2)\quad c^n\cdot c=c^4&\Rightarrow n+1=4\Rightarrow n=3;\\ 3)\quad c^{14}:c^n=c^7&\Rightarrow 14-n=7\Rightarrow n=7;\\ 4)\quad c^n:c^9=c^{10}&\Rightarrow n-9=10\Rightarrow n=19. \end{aligned} \]

4.

\[ \begin{aligned} 1)\quad x^8\cdot x^3:x^5&=x^{8+3-5}=x^6;\\ 2)\quad x^{20}:x^{10}\cdot x&=x^{20-10+1}=x^{11};\\ 3)\quad x^7\cdot x^3:x^3&=x^{7+3-3}=x^7;\\ 4)\quad x^{14}:x^9\cdot x^5&=x^{14-9+5}=x^{10}. \end{aligned} \]

5.

\[ \begin{aligned} 1)\quad \frac{8^{16}\cdot8^5}{8^{18}} &=8^{16+5-18}=8^3=512;\\[2mm] 2)\quad \frac{10^{10}}{10\cdot10^5} &=10^{10-1-5}=10^4=10000;\\[2mm] 3)\quad \frac{(-2)^7\cdot(-2)^4}{(-2)^8} &=(-2)^{7+4-8}=(-2)^3=-8;\\[2mm] 4)\quad \frac{(0{,}3)^{10}\cdot(0{,}3)^7} {(0{,}3)^8\cdot(0{,}3)^6} &=(0{,}3)^{10+7-8-6}\\ &=(0{,}3)^3=0{,}027. \end{aligned} \]

Проверка: в каждом примере показатели сначала складываются при умножении и вычитаются при делении.