Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. \[ \lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac12. \]

2. \[ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac12. \]

3. \[ \lim_{x\to-1}\frac{2|x^2-1|}{x^2+3x+2} \] не существует, потому что односторонние пределы различны: \[ \lim_{x\to-1-}=-4,\qquad \lim_{x\to-1+}=4. \]

1. Рационализация

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

\[ \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}\cdot \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} = \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x}+1)} = \frac1{\sqrt{x}+1}. \]

Тогда

\[ \lim_{x\to1}\frac1{\sqrt{x}+1} =\frac1{1+1}=\frac12. \]

2. Рационализация

\[ \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\cdot \frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac1{\sqrt{1+x}+1}. \]

Следовательно,

\[ \lim_{x\to0}\frac1{\sqrt{1+x}+1} =\frac1{1+1}=\frac12. \]

3. Модуль и односторонние пределы

Разложим знаменатель:

\[ x^2+3x+2=(x+1)(x+2), \]

а числитель:

\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]

При \(x\to-1\):

• слева от \(-1\): \(|x^2-1|=x^2-1\), поэтому предел равен \(-4\);
• справа от \(-1\): \(|x^2-1|=-(x^2-1)\), поэтому предел равен \(4\).

Так как

\[ -4\ne4, \]

двустороннего предела не существует.