Номер 370

Краткий ответ:

а) \(15\); б) \(5\); в) \(80\); г) \(45\); д) \(6\); е) \(\dfrac{15}{16}\).

Решение

Используем формулу разности квадратов:

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]

а)

\[ \sqrt{17^2-8^2} =\sqrt{(17-8)(17+8)} =\sqrt{9\cdot25} =\sqrt{225}=15. \]

б)

\[ \sqrt{3^2+4^2} =\sqrt{9+16} =\sqrt{25}=5. \]

в)

\[ \sqrt{82^2-18^2} =\sqrt{(82-18)(82+18)} =\sqrt{64\cdot100} =\sqrt{6400}=80. \]

г)

\[ \sqrt{117^2-108^2} =\sqrt{(117-108)(117+108)} =\sqrt{9\cdot225} =\sqrt{2025}=45. \]

д)

\[ \sqrt{6{,}8^2-3{,}2^2} =\sqrt{(6{,}8-3{,}2)(6{,}8+3{,}2)} \]

\[ =\sqrt{3{,}6\cdot10} =\sqrt{36}=6. \]

е)

\[ 1\frac{1}{16}=\frac{17}{16},\qquad \frac12=\frac{8}{16}. \]

\[ \sqrt{\left(\frac{17}{16}\right)^2-\left(\frac{8}{16}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{17}{16}-\frac{8}{16}\right) \left(\frac{17}{16}+\frac{8}{16}\right)} \]

\[ =\sqrt{\frac9{16}\cdot\frac{25}{16}} =\sqrt{\frac{225}{256}} =\frac{15}{16}. \]

Проверка: во всех случаях подкоренное выражение оказалось квадратом числа, поэтому корень извлекается точно.