Сделай 4 задание(только ответы)

Пришли фото или текст условия пункта б: в чате виден только ответ
\[ X=\begin{pmatrix}\frac23&\frac13\\[2pt]\frac23&\frac13\end{pmatrix}, \] а само уравнение не указано.

Задание 4

а)

\[ \begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}X= \begin{pmatrix}4&-6\\2&1\end{pmatrix} \]

\[ \det A=1\cdot5-2\cdot2=1, \qquad A^{-1}=\begin{pmatrix}5&-2\\-2&1\end{pmatrix}. \]

Тогда \[ X=A^{-1}B= \begin{pmatrix}5&-2\\-2&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4&-6\\2&1\end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix}16&-32\\-6&13\end{pmatrix}}. \]

б)

Пусть \[ X=\begin{pmatrix}x&y\\z&t\end{pmatrix}. \]

Тогда \[ \begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x&y\\z&t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x+z&2y+t\\2x+z&2y+t\end{pmatrix}. \]

Приравниваем к правой части: \[ 2x+z=2,\qquad 2y+t=1. \]

Следовательно, \[ z=2-2x,\qquad t=1-2y. \]

\[ \boxed{ X=\begin{pmatrix} x&y\\ 2-2x&1-2y \end{pmatrix}, \quad x,y\in\mathbb R } \]

Решений бесконечно много. Матрица из предыдущего ответа — только один частный случай.

в)

\[ X\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}. \]

У матрицы \[ \begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix} \] определитель равен нулю, поэтому она вырожденная.

Но произведение с вырожденной матрицей также имеет определитель \(0\), а \[ \det I=1. \]

\[ \boxed{\text{Решений нет}} \]

г)

\[ X A=B, \] где \[ A=\begin{pmatrix} 1&-1&-1\\ 2&1&0\\ 1&-1&1 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 1&-1&3\\ 4&3&2\\ 1&-2&5 \end{pmatrix}. \]

\[ A^{-1}=\frac16 \begin{pmatrix} 1&2&1\\ -2&2&-2\\ -3&0&3 \end{pmatrix}. \]

Так как \(X A=B\), то \[ X=BA^{-1}. \]

\[ X=\frac16 \begin{pmatrix} 1&-1&3\\ 4&3&2\\ 1&-2&5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&1\\ -2&2&-2\\ -3&0&3 \end{pmatrix} = \boxed{ \begin{pmatrix} -1&0&2\\ -\frac43&\frac73&\frac23\\ -\frac53&-\frac13&\frac{10}3 \end{pmatrix} }. \]

д)

\[ \begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix} X \begin{pmatrix}-3&2\\5&-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2&4\\3&-1\end{pmatrix}. \]

Обозначим \[ A=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}-3&2\\5&-3\end{pmatrix}, \quad C=\begin{pmatrix}-2&4\\3&-1\end{pmatrix}. \]

Тогда \[ X=A^{-1}CB^{-1}. \]

\[ A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}, \qquad B^{-1}=\begin{pmatrix}3&2\\5&3\end{pmatrix}. \]

\[ A^{-1}C= \begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2&4\\3&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7&9\\12&-14\end{pmatrix}. \]

\[ X= \begin{pmatrix}-7&9\\12&-14\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&2\\5&3\end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix}24&13\\-34&-18\end{pmatrix}}. \]

е)

\[ \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} X \begin{pmatrix}5&2\\0&6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}. \]

\[ X=A^{-1}CB^{-1}. \]

Здесь \[ A^{-1}=A= \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, \qquad B^{-1}= \begin{pmatrix} \frac15&-\frac1{15}\\ 0&\frac16 \end{pmatrix}. \]

\[ A^{-1}C= \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}. \]

\[ X= \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac15&-\frac1{15}\\ 0&\frac16 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix}0&\frac16\\0&0\end{pmatrix}}. \]